可能出現(xiàn)銳角三角型、等邊、等腰三角形,但不可能出現(xiàn)直角和鈍角三角形 四邊形: 可能出現(xiàn)正方形、矩形、 非矩形的平行四邊形、菱形、梯形、等腰梯形 不可能出現(xiàn)直角梯形 正方體截面的形狀

　 結(jié)論如下：

　1、可能出現(xiàn)的：

　銳角三角型、等邊、等腰三角形，正方形、矩形、 非矩形的平行四邊形、梯形、等腰梯形、 五邊形、六邊形、正六邊形

　2、不可能出現(xiàn)：

　鈍角三角形、直角三角形、直角梯形、正五邊形、 七邊形或更多邊形

　 正方體的截面形狀

　一：問題背景

　在家做飯時(shí)，切菜尤其是切豆腐時(shí)，發(fā)現(xiàn)截面有很多形狀。若用不同的截面去截一個(gè)正方體，得到的截面會(huì)有哪幾種不同的形狀？ 二：研究方法

　先進(jìn)行猜想，再利用土豆和蘿卜通過切割實(shí)驗(yàn)研究。

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　三：猜想及其他可能的證明：

　1. 正方形：

　 因?yàn)樵摿Ⅲw幾何圖形是正方體，所以用從任意位置與該正方體上下底面平行的平面進(jìn)行截取可以得到，或者和側(cè)面平行進(jìn)行截取，由下列圖示證明：

　 ==== 》》》

　由圖示可知，水平方向截取正方體，得到的截面為正方形。

　 ==== 》》》

　由圖示可知，豎直方向截取正方體，得到的截面為正方形。

　2. 矩形：

　 ：

　因?yàn)檎�方形也屬于矩形，所以�?duì)正方形的證明同適用于矩形。其次，當(dāng)長寬不等的矩形截面的圖示如下：

　 由上圖所示可知，按不同角度截取正方體可以得到矩形。例如，正方體的六個(gè)對(duì)角面都是矩形。

　3. 平行四邊形：

　 當(dāng)平面與正方體的各面都不平行時(shí)，所得截面為平行四邊形，圖示如下：

　 ==》 》

　 由上圖所示可知，當(dāng)截面不與正方體的各面平行時(shí)，所得截面可能為平行四邊形。

　4. 三角形：

　 根據(jù)一定角度過正方體的三條棱進(jìn)行截取可以得到三角形的截面，圖示如下: == 》》》

　 由上圖可 知，正方體可以截得三角形截面。但一定是銳角三角形，包括等腰和等邊三角形

　特別的，當(dāng)截面剛好經(jīng)過三個(gè)面的對(duì)角線時(shí)，所得的三角形截面為正三角形，圖示如下：

　== 》得到：

　正三棱錐

　 5. 猜想之外的截面形狀：

�。� （1 ）菱形：

　如下圖所示，當(dāng) A,B 為所在棱的中點(diǎn)時(shí)，該截面為菱形：

　 （ （2 ）梯形：

　如圖所示，當(dāng)按一定角度使截面在正方體的上下底面上所存在的線段長短有異時(shí)，所得截面可能是梯形：

　== 》》》

　 （ （3 ）五邊形：

　 如圖所示，可以截得五邊形截面：

　= 》

　通過實(shí)踐及資料查詢可知 ，無法得到正五邊形。

�。� （4 ）六邊形：

　 如圖所示，可以截得六邊形截面：

　= 》

　 特別的，當(dāng)平面與正方體各棱的交點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，截面為正六邊形，如圖所示：

　 拓展探究：. 1. 正方體形 最大面積的截面三角形 2. 正方體 最大面積的形 截面四邊形 3. 最大面積的截面形狀 4. 截面五邊形、六邊形性質(zhì)

　 1.

　 正方體 最大面積的截面三角形：

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　如該圖所示可證明， 由三角面對(duì)角線構(gòu)成的三角形。

　。

　2.

　正方體 最大面積的截面四邊形:

　 通過猜想及查詢資料可知，正方體截面可能得到的四邊形有：正方形、矩形、梯形、平行四邊形。

　 根據(jù)四邊形的面積公式：面積= 長* 寬

　 聯(lián)系正方體圖形：

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　得到：

　當(dāng) 由兩條平行的面對(duì)角線和兩對(duì)平行棱構(gòu)成的四邊形 的長最大，又因?yàn)樵诟鱾�(gè)情況下的寬不變。

　則由猜想得到：“ 最大面積的截面四邊形：由兩條平行的面對(duì)角線和兩對(duì)平行棱構(gòu)成的四邊形 。”

　3.

　最大面積的截面形狀：

�。�

　 正方體的截面可以分為：三角形、正方形、梯形、矩形、平行四邊形、五邊形、六邊形、正六邊形。其中三角形還分為 銳角三角型、等邊、等腰三角形 。梯形分位 非等腰梯形 和 等腰梯形。

　。

　首先比 較三角形與五邊形和六邊形，所得這三種截面的情況有一共同特點(diǎn)：不能完整在該截面所在平面在正方體內(nèi)所截的范圍的最大值，有部分空間空出。

　 因此可以得到：最大面積一定是四邊形。

　 所以 最大面積的截面形狀：即最大截面四邊形（猜想）

　。初步推斷為如圖所示的矩形：

　 4.

　截面五邊形、六邊形性質(zhì)

　 通過課本及資料查詢知：

　截面五邊形：有兩組邊互相平行. 截面六邊形：三組對(duì)邊平行的六邊形. 正方體的截面圖

　 四：

　結(jié)論如下：

　1、可能出現(xiàn)的：

　銳角三角型、等邊、等腰三角形，正方形、矩形、 非矩形的平行四邊形、非等腰梯形、等腰梯形、 五邊形、六邊形、正六邊形 2、不可能出現(xiàn)：

　鈍角三角形、直角三角形、直角梯形、正五邊形、 七邊形或更多邊形

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