軟件綜合實(shí)習(xí)報(bào)告

　 題目：最小生成樹算法

　院（系）：

　計(jì)算機(jī)學(xué)院

　 專

　業(yè)：

　計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)

　姓

　名：

　班級學(xué)號：

　2012 年 9 月 12 日

　目錄 一 ． 系統(tǒng)需求分析與總體設(shè)計(jì)

　............................................................................ 1

　1.1 需求分析 ……………………………………………………………………………………………………………… 1

　1.1.1 問題描述…………………………………………………………………………………………………………1

　1.1.2 問題分析…………………………………………………………………………………………………………1

　1.1.3 方案選擇…………………………………………………………………………………………………………1

　 1.1.4 開發(fā)平臺…………………………………………………………………………………………………………2

　 1.2 系統(tǒng)總體設(shè)計(jì) ……………………………………………………………………………………………………. 2

　二 ． 詳細(xì)設(shè)計(jì)與系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)

　....................................................................................... 2

　2.1 Prime 算法動(dòng)態(tài)演示模 ……. ……………….……………………………………………………………. 2

　 2.1.1 基本思想…………………………………………………………………………………………………………2

　2.1.2 設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)……………………………………………………………………………………………………..3

　 2.2

　 Kruskal 算法動(dòng)態(tài)演示模塊 ………………………………………………………………………. 4

　 2.2.1 基本思想…………………………………………………………………………………………………………4

　2.2.2 設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)………………………………………………………………………………………………………4

　 2.3

　并查集實(shí)現(xiàn) kruskal 算法動(dòng)態(tài)演示模塊 ……………………………………………….. 4

　 2.3.1 基本思想…………………………………………………………………………………………………………5

　2.3.2 設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)………………………………………………………………………………………………………5

　 2.4 深 度優(yōu)先搜索實(shí)現(xiàn) Kruskal 算法動(dòng)態(tài) 演示模塊 ………………………………. 6

　 2.4.1 基本思想…………………………………………………………………………………………………………6

　2.4.2 設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)………………………………………………………………………………………………………7

　 2.5

　廣度優(yōu)先搜索實(shí)現(xiàn) Kruskal 算法動(dòng)態(tài)演示模塊 ………………………………. 7

　 2.5.1 基本思想…………………………………………………………………………………………………………7

　2.5.2 設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)………………………………………………………………………………………………………8

　 2.6 畫圖模塊 ……………………………………………………………………………………………………………….. 8

　三 ．系統(tǒng)測試

　.................................................................................................................. 9

　3.1 測試數(shù)據(jù) ……………………………………………………………………………… 9

　3.2Primme 的測試結(jié)果 ………………………………………….…………………… 9

　3.2Kruskal 算法的測試結(jié)果 ………………………………………….………..…. 10

　3.3 并查集實(shí)現(xiàn)Kruskal 算法的測試結(jié)果 ……………………………………. 10

　3.4 深度優(yōu)先搜索實(shí)現(xiàn)Kruskal 算法的測試結(jié)果 …………………………. 11

　3.5 廣度優(yōu)先搜索實(shí)現(xiàn)Kruskal 算法的測試結(jié)果 …………………………. 11

　3.6 效率分析 ……………………………………………………………………………. 12

　四 ． 總結(jié)

　........................................................................................................................... 12

　參考資料 ……………………………………………………………………………………………………………………. 13

　一． 系統(tǒng)需求分析與總體設(shè)計(jì) 1 1.1 需求分析

　1.1.1 問題描述 在一個(gè)具有幾個(gè)頂點(diǎn)的連通圖 G 中，如果存在子圖 G" 包含 G 中所有頂點(diǎn)和一部分邊，且不形成回路，則稱 G" 為圖 G 的生成樹，代價(jià)最小生成樹則稱為最小生成樹（Minimal Spanning Tree）。

　許多應(yīng)用問題都是一個(gè)求無向連通圖的最小生成樹問題。例如：要在 n 個(gè)城市之間鋪設(shè)光纜，主要目標(biāo)是要使這 n 個(gè)城市的任意兩個(gè)之間都可以通信，但鋪設(shè)光纜的費(fèi)用很高，且各個(gè)城市之間鋪設(shè)光纜的費(fèi)用不同；另一個(gè)目標(biāo)是要使鋪設(shè)光纜的總費(fèi)用最低。這就需要找到帶權(quán)的最小生成樹。

　基本的要求是實(shí)現(xiàn)兩種算法：通過實(shí)現(xiàn)Kruskal算法和Prim算法來得到圖的最小生成樹。并對兩種算法進(jìn)行分析和比較。較高的要求是在邊通分量的查詢與合并的過程中，采用廣度優(yōu)先搜索算法（Breadth First Search）、深度優(yōu)先搜索算法(Depth First Search)和并查集（Union-Find Set）這三種方法，并進(jìn)行分析和比較算法時(shí)間復(fù)雜度。

　測試數(shù)據(jù)如下：

　圖（1）

　1.1.2 問題分析 通過問題的描述，可知這一道題目主要涉及，面向?qū)ο蟮姆治雠c設(shè)計(jì)，數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法。通過這些利用知識實(shí)現(xiàn) Kruskal 算法和 Prim 算法從而得到圖的最小生成樹。除此之外，在最小生成樹的求解過程中會(huì)對邊通分量進(jìn)行查詢和合并，由題可知要對邊通分量進(jìn)行查詢和合并要使用廣度優(yōu)先搜索算法（Breadth First Search）、深度優(yōu)先搜索算法(Depth First Search)和并查集（Union-Find Set）這三種方法。

　為了更好、更生動(dòng)的表示這些算法的運(yùn)算過程，在這里如果使用動(dòng)態(tài)顯示算法的求解過程將會(huì)是最好的選擇。對于不同的算法其求解最小生成樹時(shí)運(yùn)算的效率是不同的，因此還需要對各種算法時(shí)間復(fù)雜度進(jìn)行分析和比較，從而更加深入的理解算法，從而方便我們在不同的場合采用不同的實(shí)現(xiàn)算法。

　1.1.3 方案選擇 通過對題目的分析，對于如何將廣度優(yōu)先搜索算法（Breadth First Search）、深度優(yōu)先搜132 5 4 6 5 6 5 2 4 4 7

　3 1 7 1

　索算法(Depth First Search)和并查集（Union-Find Set）這三種方法運(yùn)用到對邊通分量進(jìn)行查詢和合并中有不同的結(jié)合方法。在這里我選擇了將這三種搜索算法融合到 Kruskal 算法，因?yàn)槲矣X得在 Kruskal 算法對邊通分量進(jìn)行查詢和合并中使用這三種方法更合理且更容易實(shí)現(xiàn)，因此也實(shí)現(xiàn)了將這三種搜索算法融合到 Kruskal 算法從而實(shí)現(xiàn)對圖的最小生成樹的查找。

　對于運(yùn)用圖形學(xué)的知識實(shí)現(xiàn)算法的動(dòng)態(tài)運(yùn)行效果�？梢灾�道使用 MFC 通過單文檔畫圖來實(shí)現(xiàn)算法動(dòng)態(tài)顯示運(yùn)行效果或者使用對話框來實(shí)現(xiàn)算法動(dòng)態(tài)顯示運(yùn)行效果，為了方便起見，我選擇的是通過 MFC 建立單文檔來實(shí)現(xiàn)這一效果。

　1.1.4 開發(fā)平臺 使用的系統(tǒng)是 Windows07 ， 開發(fā)工具 VC++6.0 2 1.2 系統(tǒng)總體設(shè)計(jì)

　由于這是對圖進(jìn)行相關(guān)的操作，因此涉及圖的存儲問題，在這里使用的是鄰接矩陣這一數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)來實(shí)現(xiàn)圖的存儲。在對圖進(jìn)行相關(guān)操作尋找最小生成樹時(shí)，得到的生成樹中的邊采用的是結(jié)構(gòu)體的存儲方式，在實(shí)現(xiàn)的過程中相關(guān)變量和數(shù)據(jù)的存儲也主要通過數(shù)組、結(jié)構(gòu)體來實(shí)現(xiàn)了。

　在深度優(yōu)先搜索算法（Breadth First Search）中使用了棧這一數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)來實(shí)現(xiàn)邊的連通分量的查詢，對廣度優(yōu)先搜索算法(Depth First Search)的實(shí)現(xiàn)使用了隊(duì)列這一數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，這里的隊(duì)列和棧都是通過編程實(shí)現(xiàn)。

　這里主要分為六個(gè)模塊，即 prime 算法模塊、kruskal 算法模塊、用并查集實(shí)現(xiàn) kruskal算法的模塊、kruskal 算法和深度優(yōu)先搜索算法結(jié)合的模塊、kruskal 算法和廣度優(yōu)先搜索算法結(jié)合的模塊以及畫圖操作的相關(guān)模塊。設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)中由于所體現(xiàn)的重點(diǎn)不同，因此下面的說明主要圍繞著此題的重點(diǎn)，即最小生成樹的生成過程。

　對于最小生成樹生成過程中邊相關(guān)變量的存儲均是通過定義一個(gè)邊（edge）的結(jié)構(gòu)體變量進(jìn)行存儲的，而關(guān)于點(diǎn)的存儲則是通過定義數(shù)組進(jìn)行相應(yīng)的存儲，由于不同的實(shí)現(xiàn)方法采用的初始值不一樣，因此使用的數(shù)組會(huì)有所不同。

　對于算法運(yùn)行時(shí)的動(dòng)態(tài)顯示運(yùn)行過程這一要求主要通過將相關(guān)的畫圓、畫線等相關(guān)畫圖的操作扦插到相關(guān)的算法中，在算法的運(yùn)行過程中再通過對相關(guān)條件的判斷從而決定是否執(zhí)行畫圓、畫線等操作。在這些算法運(yùn)行過程中實(shí)現(xiàn)的畫圖操作主要通過調(diào)用一個(gè)公用的函數(shù)進(jìn)行畫圖的相關(guān)操作。

　二． 詳細(xì)設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn) e 2.1 Prime 算法動(dòng)態(tài)演示模塊

　2.1.1 基本思想

　 Prime 算法的基本思想是以圖中的某一個(gè)頂點(diǎn)作為起始頂點(diǎn)，然后從起始頂點(diǎn)出發(fā)不斷 的從還沒有遍歷到的頂點(diǎn)中選擇與已經(jīng)遍歷到的頂點(diǎn)存在之間權(quán)值最小邊的頂點(diǎn)，并將新遍歷的點(diǎn)不斷的添加到已經(jīng)遍歷的頂點(diǎn)集合中。通過這樣的一個(gè)遍歷過程與畫圖的相關(guān)操作結(jié)合來實(shí)現(xiàn)最小生成樹生成過程的動(dòng)態(tài)演示。

　 對于無向連通圖 G（V,E），在 prime 算法中，將圖 G 頂點(diǎn)集合分為兩個(gè)集合 V1（G）和V2（G），V1（G）用來存儲當(dāng)前已經(jīng)遍歷到的頂點(diǎn)，即最小生成樹中的頂點(diǎn) V(MST)，V2（G）

　用來存儲還沒有遍歷到的頂點(diǎn)。對于已經(jīng)選擇的頂點(diǎn)之間的邊存儲在最小生成樹的邊的集合中 E(MST)。

　Prime 算法的具體過程如下：

　設(shè)最小生成樹中點(diǎn)的集合 V(MST)和邊的集合 E(MST)的初態(tài)均為空。首先從圖 G 的頂點(diǎn) 集 V(G)中任選一個(gè)頂點(diǎn)，把它加到最小生成樹 MST 的頂點(diǎn)集 V(MST)中。然后，依次選出 n-1條符合以下條件的邊(vi,vj)。

�。�1）(vi,vj)?E(G)，v 是 V(MST)的頂點(diǎn)，而 vj 是還未加入 V(MST)的頂點(diǎn)。此時(shí)(vi,vj) 一定均未加入 E(MST)。通過判斷先找出所有這樣的邊 。

�。�2）(vi,vj)是關(guān)聯(lián)于 V(MST)中頂點(diǎn)的邊中權(quán)值最小的邊。選出滿足該條件的邊，將

　 vj 加入 V(MST)，(vi,vj)加入 E(MST) ，之后畫出相應(yīng)的邊和新添加進(jìn)去的頂點(diǎn)。

　下面主要通過題目中給出的例子（如圖 1）對 prime 算法進(jìn)行詳細(xì)的解析：

　（1）將 1 作為起始頂點(diǎn)添加到 V(MST)，找到與之相連的符合條件的邊(v1,v2)，將權(quán)值為 5 的邊添加到 E(MST)中，并將頂點(diǎn) 2 添加到 V(MST)中并畫出此邊。

�。�2）集合 V(MST)此時(shí)已經(jīng)有兩個(gè)頂點(diǎn)了，即 1、2，找到與之相連的符合條件的邊(v2,v3) 將權(quán)值為 1 的邊添加到 E(MST)中，并將頂點(diǎn) 3 添加到 V(MST)中并畫出此邊。

　（3）集合 V(MST)此時(shí)已經(jīng)有三個(gè)頂點(diǎn)了，即 1、2、3，找到與之相連的符合條件的邊(v2,v4)將權(quán)值為 2 的邊添加到 E(MST)中，并將頂點(diǎn) 4 添加到 V(MST)中并畫出此邊。

�。�4）集合 V(MST)此時(shí)已經(jīng)有四個(gè)頂點(diǎn)了，即 1、2、3、4，找到與之相連的符合條件的邊(v4,v5)將權(quán)值為 3 的邊添加到 E(MST)中，并將頂點(diǎn) 5 添加到 V(MST)中并畫出此邊。

�。�5）集合 V(MST)此時(shí)已經(jīng)有五個(gè)頂點(diǎn)了，即 1、2、3、4、5，找到與之相連的符合條件的邊(v4,v6)將權(quán)值為 4 的邊添加到 E(MST)中，并將頂點(diǎn) 6 添加到 V(MST)中并畫出此邊。

�。�6）集合 V(MST)此時(shí)已經(jīng)有六個(gè)頂點(diǎn)了，即 1、2、3、4、5、6，找到與之相連的符合條件的邊(v6,v7)將權(quán)值為1的邊添加到E(MST)中，并將頂點(diǎn)7添加到V(MST)中并畫出此邊。

　至此圖 G 中所有的點(diǎn)均已添加到了 V(MST)，最小生成樹生成完畢，其權(quán)值為 16。

　2.1.2 設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn) 對于 prime 算法的動(dòng)態(tài)演示，主要是關(guān)乎兩個(gè)函數(shù)的實(shí)現(xiàn)一個(gè)是畫圖函數(shù)的實(shí)現(xiàn)，另 外一個(gè)就是如何判斷何時(shí)進(jìn)行畫圖操作并進(jìn)行相關(guān)操作的畫圖函數(shù)，在這里主要通過兩個(gè)函數(shù)實(shí)現(xiàn)一個(gè)是與 Kruskal 算法動(dòng)態(tài)實(shí)現(xiàn)的公用的畫圖操作函數(shù)，另外一個(gè)就是 prime 算法尋找最小生成樹的實(shí)現(xiàn)。這里僅給出語言描述的實(shí)現(xiàn)過程，源代碼的實(shí)現(xiàn)在后面的附錄中將會(huì)給出。

　Prime 算法的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn) 如下所述：

�。�1）對所畫區(qū)域刷新。

　（2）

　MST 頂點(diǎn)初始值={序號為 0 的頂點(diǎn)}，其邊所在的結(jié)構(gòu)體數(shù)組 E[n-1]的值也為空。lowCost的初始值為鄰接矩陣中第0行的值，這樣初始時(shí)lowCost中就存放了從集合V(MST)中頂點(diǎn) 0 到集合 V(G)－V(MST)中各個(gè)頂點(diǎn)的權(quán)值 。

�。�3）循環(huán) n-1 次 2.1 從 lowCost 中尋找具有最小權(quán)值的邊。根據(jù) lowCost 的定義，這樣的邊其一個(gè)頂點(diǎn)必然為集合 V(MST)中的頂點(diǎn)，其另一個(gè)頂點(diǎn)（設(shè)第 k 個(gè)頂點(diǎn)）必然為集合 V(G)－V(MST)中的頂點(diǎn) ，將相應(yīng)的邊添加到 E[n-1]中。

　2.2 存第 k 個(gè)頂點(diǎn)的數(shù)據(jù)和相應(yīng)邊的權(quán)值到 MST 中，并將 lowCost[k]置為-1，表示第k 個(gè)頂點(diǎn)從集合 V(G)－V(MST)加入了集合 V(MST)中

　2.3 當(dāng)?shù)?k 個(gè)頂點(diǎn)加入到集合 V(MST)后，若存在一條邊(k,j)，其中 k 是集合 V(MST)的頂點(diǎn)，j 是集合 V(G)－V(MST)的頂點(diǎn)，且邊(k,j)權(quán)值較原先 lowCost[j]的代價(jià)更小，則用這個(gè)權(quán)值修正原先 lowCost[j]中的權(quán)值。

　2.4 當(dāng)最小生成樹生成完畢時(shí)，則調(diào)用 Draw（E）函數(shù)畫出生成的過程。

　l 2.2 Kruskal 算法動(dòng)態(tài)演示模塊

　2.2.1 基本思想 Kruskal 算法通常是在已知 V(MST)=V(G)，E(MST)的初態(tài)為空時(shí)對圖 G 進(jìn)行相關(guān)處理的到最小生成樹的。首先將圖中所有邊按權(quán)值遞增順序排列，依次選定取權(quán)值較小的邊，但要求后面選取的邊不能與前面選取的邊構(gòu)成回路，若構(gòu)成回路，則放棄該條邊，再去選后面權(quán)值較大的邊。每次挑選邊成功了即畫出此邊。在 n 個(gè)頂點(diǎn)的圖中，選夠 n-1 條邊即可。具體如下：

�。�1）

　構(gòu)造一個(gè)只有 n 個(gè)頂點(diǎn)沒有邊的非連通圖 T，圖中的每個(gè)頂點(diǎn)為一個(gè)連通分量。

�。�2）

　在原圖 G 中的邊中選擇具有最小權(quán)值的邊，若該邊的兩個(gè)頂點(diǎn)落在不同的連 通分量上，則將此邊加入到 T 中；否則，則將此邊舍去（此后永不選入此邊），重新選擇一條權(quán)值最小的邊并進(jìn)行畫圖的操作處理。

�。�3）如此反復(fù)下去，直到所有頂點(diǎn)在同一個(gè)連通分量上為止。

　下面主要通過題目中給出的例子（如圖 1）對 kruskal 算法進(jìn)行詳細(xì)的解析：

�。�1）在圖 G 的邊的集合 E 中按存儲次序選擇權(quán)值最小的邊，即（2,3）由于邊（2,3）在（6,7）前面存儲，所以此處選擇的邊（2,3）并畫出此邊，其權(quán)重為 1。

�。�2）在圖 G 的邊的集合 E 中按存儲次序選擇權(quán)值最小的邊，即（6,7）由于邊（6,7）在（2,3）后面存儲，所以后選擇邊（6,7）并畫出此邊，其權(quán)重為 1。

　（3）在圖 G 的邊的集合 E 中選擇權(quán)值最小的邊（2,4）并畫出此邊，其權(quán)重為 2。

�。�4）在圖 G 的邊的集合 E 中選擇權(quán)值最小的邊（4,5）并畫出此邊，其權(quán)重為 3。

　（5）在圖 G 的邊的集合 E 中選擇權(quán)值最小的邊（4,6）并畫出此邊，其權(quán)重為 4。

　（6）在圖 G 的邊的集合 E 中選擇權(quán)值最小的邊（1,2）并畫出此邊，其權(quán)重為 5。

　至此通過 kruskal 算法得到最小生成樹及生成過程，其最小生成樹的權(quán)值為 16。

　2.2.1 模塊設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn) Kruskal 算法的實(shí)現(xiàn)主要包含兩個(gè)部分，即帶權(quán)值的邊的排序和判斷選取的邊的兩個(gè)頂點(diǎn)是否屬于同一個(gè)連通分量。因此首先將圖 G 的頂點(diǎn)集合 V 分為 n 個(gè)等價(jià)類，每個(gè)等價(jià)類包括一個(gè)頂點(diǎn)；然后以權(quán)值的大小為順序處理各條邊，如果某條邊連接兩個(gè)不同等價(jià)類的頂點(diǎn)，則這條邊被添加到 MST（選取的邊不與前面選取的邊構(gòu)成回路），兩個(gè)等價(jià)類被合并為一個(gè)；反復(fù)執(zhí)行此過程，直到只剩下一個(gè)等價(jià)類。

　kruskal 算法的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)如下所述（具體的代碼實(shí)現(xiàn)見附錄）：

�。�1）對所畫區(qū)域進(jìn)行刷新。

�。�2）設(shè)置查找到的頂點(diǎn)集合 find[n]所有的值為-1，存儲邊的集合 E[n-1]為空集。

�。�3）判斷找到的邊的數(shù)目是否小于頂點(diǎn)的數(shù)目減一，即 n-1，如果是則從沒有被選中的邊中選取權(quán)值最小的邊，如果放入存儲邊的集合中不構(gòu)成回路則添加進(jìn)去，否則舍去此邊。

�。�4）如果不符合（2）中的判斷則不斷的重復(fù)直到選取的邊等于 n-1。

�。�5）當(dāng)最小生成樹生成完畢時(shí)，則調(diào)用 Draw（E）函數(shù)畫出生成的過程。

　3 2.3 并查集實(shí)現(xiàn) l kruskal 算法動(dòng)態(tài)演示模塊

　2.3.1 基本思想 并查集處理問題的主要思想是在處理時(shí)使用搜索與合并運(yùn)算對相關(guān)集合進(jìn)行處理。最初 把每一個(gè)對象看做是一個(gè)單元集合，然后依次按順序讀入一個(gè)等價(jià)對后，將等價(jià)對中的兩個(gè)元素所在的集合合并。在此過程中不斷的重復(fù)使用一個(gè)搜索運(yùn)算，從而確定此元素在哪一個(gè)集合中，當(dāng)讀入一個(gè)等價(jià)對 A≡B 時(shí)，首先檢測 A 和 B 是不是屬于同一個(gè)集合，如果是，則不用合并；如果不是，則使用一個(gè)合并運(yùn)算把 A 和 B 合并到同一個(gè)集合中，使得這兩個(gè)集合中的任意兩個(gè)元素都是等價(jià)的（依據(jù)等價(jià)的傳遞性）。

　在此處實(shí)現(xiàn) Kruskal 算法時(shí)主要使用并查集對相關(guān)頂點(diǎn)進(jìn)行搜索和合并，從而實(shí)現(xiàn)了使用并查集實(shí)現(xiàn) Kruskal 算法。在程序中也實(shí)現(xiàn)了并查集的動(dòng)態(tài)演示，通過 Kruskal 算法調(diào)用并查集的函數(shù)，在函數(shù)中 對相關(guān)的頂點(diǎn)信息進(jìn)行判斷從而實(shí)施相應(yīng)的畫圖操作。

　下面通過題目的例子（如圖 1）對 kruskal 算法利用并查集實(shí)現(xiàn)過程中相應(yīng)集合的變化進(jìn)行了詳細(xì)的解析：

�。�1）最初的集合有 7 個(gè)，這 7 個(gè)集合中均只有一個(gè)元素分別為{1}、{2}、{3}、{4}、{5}、{6}、{7}。畫出初始狀態(tài)。

�。�2）在圖 G 的邊的集合 E 中按存儲次序選擇權(quán)值最小的邊，即（2,3）由于邊（2,3）在（6,7）前面存儲，所以此處選擇的邊（2,3）其權(quán)重為 1。此時(shí)集合變?yōu)閧1}、{2、3}、{4}、 {5}、{6}、{7}。通過判斷畫出發(fā)生改變的集合{2、3}。

�。�3）在圖 G 的邊的集合 E 中按存儲次序選擇權(quán)值最小的邊，即（6,7）由于邊（6,7）在（2,3）后面存儲，所以后選擇邊（6,7），其權(quán)重為 1。此時(shí)集合變?yōu)閧1}、{2、3}、{4}、 {5}、{6、7}。通過判斷畫出發(fā)生改變的集合{6、7}。

�。�4）在圖 G 的邊的集合 E 中選擇權(quán)值最小的邊（2,4）并畫出此邊，其權(quán)重為 2。此時(shí)集合變?yōu)閧1}、{2、3、4}、{5}、{6、7}。通過判斷畫出發(fā)生改變的集合{2、3、4}。

�。�5）在圖 G 的邊的集合 E 中選擇權(quán)值最小的邊（4,5）并畫出此邊，其權(quán)重為 3。此時(shí)集合變?yōu)閧1}、{2、3、4、5}、{6、7}。通過判斷畫出發(fā)生改變的集合{2、3、4、5}。

�。�6）在圖 G 的邊的集合 E 中選擇權(quán)值最小的邊（4,6）并畫出此邊，其權(quán)重為 4。此時(shí)集合變?yōu)閧1}、{2、3、4、5、6、7}。通過判斷畫出發(fā)生改變的集合{2、3、4、5、6、7}。

　（7）在圖 G 的邊的集合 E 中選擇權(quán)值最小的邊（1,2）并畫出此邊，其權(quán)重為 5。此時(shí)集合變?yōu)閧1、2、3、4、5、6、7}。通過判斷畫出發(fā)生改變的集合{1、2、3、4、5、6、7}。

　至此 kruskal 算法利用并查集查找、合并的過程結(jié)束，通過 kruskal 算法得到最小生成樹及生成過程，其最小生成樹的權(quán)值為 16。

　2.3.2 設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn) Kruskal 算法利用并查集實(shí)現(xiàn)查找、合并的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)也是首先選擇權(quán)值最小的邊，其次是利用并查集來對所要選擇的那些頂點(diǎn)進(jìn)行查找、合并。在 Kruskal 使用并查集時(shí)首先對其進(jìn)行邊集合的排序，接著利用并查集對圖 G 中的頂點(diǎn)進(jìn)行初始化，每一個(gè)頂點(diǎn)當(dāng)做一個(gè)集合，同時(shí)給其一個(gè)相關(guān)的變量標(biāo)志其集合中頂點(diǎn)的數(shù)目；然后利用并查集判斷此時(shí)的頂點(diǎn)所在集合是不是相同，如果不相同則合并這兩個(gè)頂點(diǎn)所在的集合。

　并查集的實(shí)現(xiàn)主要包含三個(gè)方面，即并查集的初始化、查找和集合的合并，下面主要介紹并查集這三個(gè)過程的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)。

　（1）對所畫區(qū)域進(jìn)行刷新。

�。�2）初始化過程：為了方便并查集的描述與實(shí)現(xiàn)，通常把先后加入到一個(gè)集合中的元素表示成一個(gè)樹形結(jié)構(gòu)，并用根節(jié)點(diǎn)來代表這個(gè)集合。這里定義一個(gè) parent[n]的數(shù)組，parent[i]中存儲的就是結(jié)點(diǎn) i 所在的樹中的結(jié)點(diǎn) i 父親結(jié)點(diǎn)的序號，并查集的初始化中所有的

　結(jié)點(diǎn)的 parent 值均為-1，即每個(gè)結(jié)點(diǎn)就是根節(jié)點(diǎn)，只包含它本身這一個(gè)元素。

　（3）查找：主要是查找并返回結(jié)點(diǎn) i 所屬集合的根節(jié)點(diǎn)。在此函數(shù)中如果只靠一個(gè)循環(huán)來得到結(jié)果，則對于合并中得到的層次比較深的集合，查找會(huì)很費(fèi)時(shí)。這里通過壓縮路徑的方法來加快后續(xù)的查找速度，主要是通過增加一個(gè) while 循環(huán)，每次都把從結(jié)點(diǎn) i 到集合根節(jié)點(diǎn)的路徑上經(jīng)過的結(jié)點(diǎn)直接設(shè)置為根結(jié)點(diǎn)的子結(jié)點(diǎn)。

�。�4）合并：兩個(gè)集合合并時(shí)，任何一方均可作為另一方的子孫。在這里采用的是加權(quán)合并，即把兩個(gè)集合中元素個(gè)數(shù)少的根結(jié)點(diǎn)作為元素個(gè)數(shù)多的根節(jié)點(diǎn)的子結(jié)點(diǎn)。這樣處理可以減少樹中深層次元素的個(gè)數(shù)，減少后續(xù)查找時(shí)間。在每一次的合并過程結(jié)束時(shí)，將會(huì)畫出合并之后的集合。

　2.4 深度優(yōu)先搜索實(shí)現(xiàn) l Kruskal 算法動(dòng)態(tài)演示模塊

　2.4.1 基本思想 深度優(yōu)先搜索主要是在圖的遍歷中使用此方法對整個(gè)圖進(jìn)行遍歷來訪問整個(gè)圖中所有節(jié)點(diǎn)的一種遍歷方法。通常是利用遞歸來實(shí)現(xiàn)圖中結(jié)點(diǎn)的遍歷。其基本思想是：對于一個(gè)無向連通圖，從某一個(gè)起始結(jié)點(diǎn) vi 出發(fā)，訪問與它相連的一個(gè)結(jié)點(diǎn) vj，且 vi、vj 這兩個(gè)結(jié)點(diǎn)之間的邊（vi、vj）是所有以 vi 為連接結(jié)點(diǎn)的邊中權(quán)值最小的；然后再從 vj 出發(fā)尋找與 vj 相連的頂點(diǎn)，且它們之間的邊是所有以 vi 為連接結(jié)點(diǎn)的邊中權(quán)值最小的，不斷的重復(fù)直到找到訪問完所有的結(jié)點(diǎn)為止。

　在這個(gè)算法的實(shí)現(xiàn)過程中，邊通分量的查找雖然是深度優(yōu)先搜索為主，但是是以最小生成樹的的生成過程為主，因此這里所采用的畫圖操做運(yùn)行的情況和使用一般的方法實(shí)現(xiàn)kruskal 算法的運(yùn)行過程是一樣的，在這里不再給予詳細(xì)的說明，如有必要?jiǎng)t可以參照 kruskal的生成最小生成樹的過程。對于深度優(yōu)先搜索方法的實(shí)現(xiàn)這里使用的方法是通過利用棧這一數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)來實(shí)現(xiàn)的。下面僅給出在邊已經(jīng)通過權(quán)值大小進(jìn)行排序之后，邊通分量的查找的過程和查找之后集合的合并情況 （1）得到圖 G 中最小權(quán)值的邊（2,3），因?yàn)椋?,3）排在（6,7）的前面，所以先判斷它的兩個(gè)結(jié)點(diǎn)，判斷點(diǎn) 2 和點(diǎn) 3 是否已經(jīng)訪問過了，由于數(shù)組 check 中相應(yīng)的值為 0，說明沒有被訪問過，因此合并這兩個(gè)結(jié)點(diǎn)為一個(gè)集合{2、3}。同時(shí)通過深度優(yōu)先搜索對這兩個(gè)結(jié)點(diǎn)分別進(jìn)行判斷及標(biāo)記已經(jīng)訪問過了。

　（2）繼續(xù)向下查找得到邊（6,7），判斷點(diǎn) 6 和點(diǎn) 7 是否已經(jīng)訪問過了，由于數(shù)組 check中相應(yīng)的值為 0，因此合并這兩個(gè)結(jié)點(diǎn)，得到新的集合{6、7}。同時(shí)通過深度優(yōu)先搜索對這兩個(gè)結(jié)點(diǎn)分別進(jìn)行判斷及標(biāo)記已經(jīng)訪問過了。

　 （3）繼續(xù)向下查找得到邊（2,4），判斷點(diǎn) 2 和點(diǎn) 4 是否已經(jīng)訪問過了得知點(diǎn) 2 已經(jīng)被訪問過了，點(diǎn) 4 沒有，因此得到新的集合{2,、3、4}。同時(shí)通過深度優(yōu)先搜索對著兩個(gè)結(jié)點(diǎn)分別進(jìn)行判斷是否需要標(biāo)記，可知點(diǎn) 4 此時(shí)被標(biāo)記訪問過了。

　 （4）繼續(xù)向下查找得到邊（4,5），判斷點(diǎn) 4 和點(diǎn) 5 是否已經(jīng)訪問過了得知點(diǎn) 4 已經(jīng)被訪問過了，點(diǎn) 5 沒有，因此得到新的集合{2,、3、4、5}。同時(shí)通過深度優(yōu)先搜索對著兩個(gè)結(jié)點(diǎn)分別進(jìn)行判斷是否需要標(biāo)記，可知點(diǎn) 5 此時(shí)被標(biāo)記訪問過了。

�。�5）繼續(xù)向下查找得到邊（4,6），判斷點(diǎn) 4 和點(diǎn) 6 是否已經(jīng)訪問過了得知點(diǎn) 4 已經(jīng)被訪問過了，點(diǎn) 6 沒有，因此得到新的集合{2,、3、4、5、6、7}。同時(shí)通過深度優(yōu)先搜索對著兩個(gè)結(jié)點(diǎn)分別進(jìn)行判斷是否需要標(biāo)記則知均不需要。

�。�6）繼續(xù)向下查找得到邊（5,6），判斷點(diǎn) 5 和點(diǎn) 6 是否已經(jīng)訪問過了得知已經(jīng)被訪問過了，因此得到不進(jìn)行集合的合并，繼續(xù)向下查找相應(yīng)的邊。

�。�7）繼續(xù)向下查找得到邊（1,2），判斷點(diǎn) 1 和點(diǎn) 2 是否已經(jīng)訪問過了得知點(diǎn) 2 已經(jīng)被

　訪問過了，點(diǎn) 1 沒有，因此得到新的集合{1、2,、3、4、5、6、7}。同時(shí)通過深度優(yōu)先搜索對著兩個(gè)結(jié)點(diǎn)分別進(jìn)行判斷是否需要標(biāo)記，可知點(diǎn) 1 此時(shí)被標(biāo)記訪問過了。

　至此通過利用深度優(yōu)先搜索進(jìn)行邊通分量查詢的 kruskal 算法運(yùn)行完畢，通過對比可知和使用普通的查找算法得到的運(yùn)行結(jié)果是一致的。

　2.4.2 設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn) 在這里采用 Kruskal 算法得到最小生成樹的過程中，在對邊連通分量的查詢時(shí)使用了深度優(yōu)先搜索的方法來查詢當(dāng)前得到的具有最下權(quán)值的邊的兩個(gè)頂點(diǎn)是不是已經(jīng)存在于被訪問過的結(jié)點(diǎn)的集合中，如果是的則進(jìn)行下一次查詢，否則的話則將沒有訪問過的結(jié)點(diǎn)加入已經(jīng)訪問過的結(jié)點(diǎn)的集合中。

　深度優(yōu)先搜索的實(shí)現(xiàn)主要利用棧這一數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)來實(shí)現(xiàn)。因此主要包含兩個(gè)方面，即棧這一數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中相關(guān)函數(shù)的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)，以及如何實(shí)現(xiàn)深度優(yōu)先搜索算法判斷變量通分量的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)。由于對棧已經(jīng)比較熟悉，在這里僅作簡要的說明。

�。�1）棧：

　這里使用到的與棧相關(guān)的操作主要有棧中數(shù)據(jù)的初始化 StackInitiate、將數(shù)據(jù)壓入棧的操作 StackPush、將數(shù)據(jù)彈出棧的操作 StackPop、判斷棧是否為空的操作StackNotEmpty 和得到棧頂元素的操作 StackTop。

�。�2）查找與合并：在深度優(yōu)先搜索中首先判斷是否需要標(biāo)記此節(jié)點(diǎn)，如果需要標(biāo)記此節(jié)點(diǎn)則將此節(jié)點(diǎn)標(biāo)記為以訪問過，并添加到已經(jīng)訪問過的結(jié)點(diǎn)的集合中，并將相應(yīng)的邊存入E[]中；如果是要進(jìn)行判斷兩個(gè)結(jié)點(diǎn)是不是都已經(jīng)訪問過了，及是否屬于同一個(gè)集合利用棧來不斷的搜索其中一個(gè)結(jié)點(diǎn)所在的集合中是否有另一個(gè)結(jié)點(diǎn)，如果存在則舍棄當(dāng)前所選擇的邊，否則選擇此邊為最小生成樹的一邊。

　下面給出 kruakal 算法利用深度優(yōu)先搜索進(jìn)行邊連通分量查詢和合并從而得到最小生成樹的的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)步驟：

�。�1）對所畫區(qū)域進(jìn)行刷新。

�。�2）對已經(jīng)排好序的邊進(jìn)行選擇，對沒有訪問過的最小權(quán)值的邊的兩個(gè)結(jié)點(diǎn)進(jìn)行判斷，檢查是否已經(jīng)被訪問過了，如果有一個(gè)沒有被訪問過，則將和此邊相應(yīng)的頂點(diǎn)進(jìn)行深度優(yōu)先搜索的判斷之后進(jìn)行標(biāo)記，同時(shí)存儲所選擇的這個(gè)邊和相應(yīng)的頂點(diǎn)。

　（3）如果都已經(jīng)被訪問過了，則利用深度優(yōu)先搜索判斷這兩個(gè)節(jié)點(diǎn)是否屬于同一個(gè)集合，如果是的話則拋棄此邊，如果不是的話則對其進(jìn)行標(biāo)記，并畫出此邊和相對應(yīng)的點(diǎn)。

�。�4）選擇下一條沒有被訪問過的邊重新進(jìn)行（1）、（2）的判斷，直到所有的頂點(diǎn)均已被訪問過且在同一個(gè)集合中，即已經(jīng)添加到了最小生成樹中則最小生成樹生成完畢。

�。�5）當(dāng)最小生成樹生成完畢時(shí)，則調(diào)用 Draw（E）函數(shù)畫出生成的過程。

　2.5 廣度優(yōu)先搜索實(shí)現(xiàn) l Kruskal 算法動(dòng)態(tài)演示模塊

　2.5.1 基本思想 廣度優(yōu)先搜索主要是在圖的遍歷中使用此方法對整個(gè)圖進(jìn)行遍歷來訪問整個(gè)圖中所有節(jié)點(diǎn)的一種遍歷方法。通常是利用隊(duì)列這一數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)來實(shí)現(xiàn)圖中結(jié)點(diǎn)的遍歷。其基本思想是：對于一個(gè)無向連通圖，從某一個(gè)起始結(jié)點(diǎn) vi 出發(fā)，依次訪問與它相連的所有未訪問過的結(jié)點(diǎn) vj1、vj2……vjn，然后在順序訪問 vj1、vj2……vjn 的所有還未訪問過的鄰接頂點(diǎn)；再從這些鄰接頂點(diǎn)出發(fā)，再訪問它們的所有未訪問過的鄰接頂點(diǎn)，……，不斷重復(fù)直到圖 G 中所有的頂點(diǎn)都被訪問過為止。

　kruskal 算法利用廣度優(yōu)先搜索進(jìn)行邊通分量的查詢和合并的的實(shí)現(xiàn)過程中，邊通分量的查找和合并雖然是廣度優(yōu)先搜索為主，但是總體是以最小生成樹的的生成過程為主，因此

　這里所采用的畫圖操做運(yùn)行的情況和使用一般的方法實(shí)現(xiàn) kruskal 算法的運(yùn)行過程是一樣的，在這里不再給予詳細(xì)的說明，如有必要?jiǎng)t可以參照 kruskal 的生成最小生成樹的過程。對于廣度優(yōu)先搜索方法的實(shí)現(xiàn)這里使用的方法是通過利用隊(duì)列這一數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)來實(shí)現(xiàn)的。

　這里采用的廣度優(yōu)先搜索主要是用來檢索邊的鄰接頂點(diǎn)是不是在同一個(gè)集合中，由于使用 kruskal 算法時(shí)最初已經(jīng)對邊進(jìn)行了一個(gè)排序，所以每一次所選用的邊和通過廣度優(yōu)先搜索對鄰接頂點(diǎn)進(jìn)行判斷的結(jié)果是一樣的，在這里不再給予詳細(xì)的說明，kruskal 算法結(jié)合廣度優(yōu)先搜索具體的運(yùn)算過程和 kruskal 算法結(jié)合深度優(yōu)先搜索的運(yùn)算過程是一樣的，在這里不再列出。由于本題的重點(diǎn)是最小生成樹的生成，在這里不再給出廣度優(yōu)先搜索具體的搜索過程。

　2.5.2 設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn) 在這里采用 Kruskal 算法得到最小生成樹的過程中，在對邊連通分量的查詢時(shí)使用了廣度優(yōu)先搜索的方法來查詢當(dāng)前得到的具有最下權(quán)值的邊的兩個(gè)頂點(diǎn)是不是已經(jīng)存在于被訪問過的結(jié)點(diǎn)的集合中，如果是的則進(jìn)行下一次查詢，否則的話則將沒有訪問過的結(jié)點(diǎn)加入已經(jīng)訪問過的結(jié)點(diǎn)的集合中。

　廣度優(yōu)先搜索的實(shí)現(xiàn)主要利用隊(duì)列這一數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)來實(shí)現(xiàn)。因此主要包含兩個(gè)方面，即隊(duì)列這一數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中相關(guān)函數(shù)的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)，以及如何實(shí)現(xiàn)深度優(yōu)先搜索算法判斷變量通分量的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)。由于對隊(duì)列已經(jīng)比較熟悉，在這里僅作簡要的說明。

�。�1）隊(duì)列：

　這里使用到的與隊(duì)列相關(guān)的操作主要有棧中數(shù)據(jù)的初始化 QueueInitiate、將數(shù)據(jù)存入隊(duì)列的操作 QueueAppend、將數(shù)據(jù)從隊(duì)列中刪除的操作 QueueDelete、判斷隊(duì)列是否為空的操作 QueueNotEmpty。

　（2）查找與合并：在廣度優(yōu)先搜索中首先判斷是否需要標(biāo)記此節(jié)點(diǎn)，如果需要標(biāo)記此節(jié)點(diǎn)則將此節(jié)點(diǎn)標(biāo)記為以訪問過，并添加到已經(jīng)訪問過的結(jié)點(diǎn)的集合中；如果是要進(jìn)行判斷兩個(gè)結(jié)點(diǎn)是不是都已經(jīng)訪問過了，及是否屬于同一個(gè)集合利用棧來不斷的搜索其中一個(gè)結(jié)點(diǎn)所在的集合中是否有另一個(gè)結(jié)點(diǎn)，如果存在則舍棄當(dāng)前所選擇的邊，否則選擇此邊為最小生成樹的一邊。

　下面給出 kruakal 算法利用廣度優(yōu)先搜索進(jìn)行邊連通分量查詢和合并從而得到最小生成樹的的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)步驟：

�。�1）對所畫區(qū)域進(jìn)行刷新。

�。�2）對已經(jīng)排好序的邊進(jìn)行選擇，對沒有訪問過的最小權(quán)值的邊的兩個(gè)結(jié)點(diǎn)進(jìn)行判斷，檢查是否已經(jīng)被訪問過了，如果有一個(gè)沒有被訪問過，則將和此邊相應(yīng)的頂點(diǎn)進(jìn)行廣度優(yōu)先搜索的判斷之后進(jìn)行標(biāo)記，同時(shí)畫出所選擇的這個(gè)邊和相應(yīng)的頂點(diǎn)。

　（3）如果都已經(jīng)被訪問過了，則利用廣度優(yōu)先搜索判斷這兩個(gè)節(jié)點(diǎn)是否屬于同一個(gè)集合，如果是的話則拋棄此邊，如果不是的話則對其進(jìn)行標(biāo)記，并畫出此邊和相對應(yīng)的點(diǎn)。

�。�4）選擇下一條沒有被訪問過的邊重新進(jìn)行（1）、（2）的判斷，直到所有的頂點(diǎn)均已被訪問過且在同一個(gè)集合中，即已經(jīng)添加到了最小生成樹中則最小生成樹生成完畢。

　（5）當(dāng)最小生成樹生成完畢時(shí)，則調(diào)用 Draw（E）函數(shù)畫出生成的過程。

　2.6 畫圖模塊

　這一模塊主要是實(shí)現(xiàn)如何動(dòng)態(tài)的演示程序運(yùn)行的效果，主要涉及的有三個(gè)方面，第一個(gè)方面是使用不同的算法實(shí)現(xiàn)最小生成樹的繪制過程，第二個(gè)方面是畫圖區(qū)域的刷新，第三個(gè)方面是并查集的繪制過程。

　對于最小生成樹的繪制過程有一個(gè)函數(shù)承擔(dān)，主要是實(shí)現(xiàn)程序在調(diào)用 prime 算法、kruskal 算法、深度優(yōu)先搜索實(shí)現(xiàn)的 kruskal 算法和廣度優(yōu)先搜索實(shí)現(xiàn)的 kruskal 算法的過程中

　相關(guān)運(yùn)行過程的繪制，此處主要通過判斷最小生成樹中所存儲的邊來進(jìn)行繪制。

　畫圖區(qū)域的刷新主要是為了實(shí)現(xiàn)同一塊區(qū)域可以畫多次不同的運(yùn)行過程，有兩個(gè)函數(shù)承擔(dān)。由于并查集的繪制和最小生成樹的繪制沒有太大的關(guān)聯(lián)，因此在這里采用了單獨(dú)繪制并查集實(shí)現(xiàn) kruskal 算法中并查集的合并過程。

　三． 系統(tǒng)測試 3.1 測試數(shù)據(jù)

　 圖（2）

　上圖是利用程序直接得到的原圖形，此測試數(shù)據(jù)中有七個(gè)頂點(diǎn)，有十條邊。通過這些可知其生成的最小生成樹只能有七個(gè)頂點(diǎn)、六條邊。通過觀察可知這六條邊應(yīng)為（2,3）、（6,7）、（2,4）、（4,5）、（4,6）、（1,2）。

　3.2Primme 的測試結(jié)果

　 圖（3）

　通過上面 prime 算法的解析結(jié)果和運(yùn)行結(jié)果發(fā)現(xiàn)其運(yùn)行結(jié)果與分析中應(yīng)該得到的結(jié)果是一致的，由于畫圖和判斷中采用的有延長運(yùn)行時(shí)間的函數(shù)，因此這里只通過理論分析得出prime 算法的運(yùn)行效率。

　 3.2Kruskal 算法的測試結(jié)果

　 圖(4)

　 通過上面 kruskal 算法的解析結(jié)果和運(yùn)行結(jié)果發(fā)現(xiàn)其運(yùn)行結(jié)果與分析中應(yīng)該得到的結(jié)果是一致的，由于畫圖和判斷中采用的有延長運(yùn)行時(shí)間的函數(shù)，因此這里只通過理論分析得出kruskal 算法的運(yùn)行效率。

　3.3 并查集實(shí)現(xiàn) Kruskal 算法的測試結(jié)果

　圖(5)

　 此圖中首先給出了最初集合的狀況，緊接著給出了每一次進(jìn)行邊通分量查找合并過程中發(fā)生變化的集合的狀況。通過此圖并結(jié)合上面對并查集的分析可知與其運(yùn)行一致。

　3.4 深度優(yōu)先搜索實(shí)現(xiàn) Kruskal 算法的測試結(jié)果

　圖（6）

　在這里沒有對深度優(yōu)先搜索的過程給予動(dòng)態(tài)顯示，主要是模擬了深度優(yōu)先搜索實(shí)現(xiàn)kruskal 算法的過程，也即最小生成樹的生成過程。通過對比前兩種 kruskal 算法的實(shí)現(xiàn)過程可知其運(yùn)行是一致的。

　3.5 廣度優(yōu)先搜索實(shí)現(xiàn) Kruskal 算法的測試結(jié)果

　圖（7）

　 通過與其他方法實(shí)現(xiàn) kruska 算法進(jìn)行對比，可知結(jié)果是一致的。由此也說明一個(gè)問題，即對于使用不同的方法來實(shí)現(xiàn)這一算法，改變的只是其效率，但是整體的運(yùn)行情況是不會(huì)發(fā)生改變的。因此在實(shí)現(xiàn)的過程中應(yīng)該盡量選擇效率比較高的方法來實(shí)現(xiàn)算法。

　對于廣度優(yōu)先搜索每個(gè)頂點(diǎn)至多進(jìn)一次隊(duì)列。遍歷圖的過程實(shí)質(zhì)上是通過邊或弧找鄰接 點(diǎn)的過程。因此廣度優(yōu)先搜索遍歷圖的時(shí)間復(fù)雜度和深度優(yōu)先搜索遍歷相同，兩者不同之處僅在于對頂點(diǎn)訪問的順序不同。對于使用 kruskal 算法和深度優(yōu)先搜索結(jié)合的算法，對邊的遍歷至多是 e 次，故其總代價(jià)為 O(n^2*e)。

　3.6 效率分析 Prime 算法實(shí)現(xiàn)的函數(shù)主要是一個(gè)兩重循環(huán)，其中每一重循環(huán)的次數(shù)均為頂點(diǎn)個(gè)數(shù) n，所以該算法的時(shí)間復(fù)雜度為 O(n^2)。

　Kruskal 算法的時(shí)間復(fù)雜度與選取的排序函數(shù)有關(guān)，這里采用的是不是對其進(jìn)行排序 而是在每一次循環(huán)中找余下的邊中權(quán)值最小的邊，找到最小的邊之后將對其相應(yīng)的點(diǎn)進(jìn)行標(biāo)記，已知點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 n 邊的個(gè)數(shù)為 e，所以它的時(shí)間復(fù)雜度為最壞的情況下為 O(e^2)，如果邊已經(jīng)很有序的話，也就是最好的情況下的時(shí)間復(fù)雜度為 O(n^2)。

　Kruskal 運(yùn)用并查集實(shí)現(xiàn)中使用了路徑壓縮，F(xiàn)ind 和 UNION 函數(shù)幾乎是常數(shù)假設(shè)可能對幾乎所有邊都判斷過了，則最壞情況下算法時(shí)間代價(jià)為 O(eloge)，即堆排序的時(shí)間通常情況下只找了接近頂點(diǎn)數(shù)目那么多邊的情況下，MST 就已經(jīng)生成，時(shí)間代價(jià)接近于 O(nloge)

　 深度優(yōu)先搜索對每一條邊處理一次，每個(gè)頂點(diǎn)訪問一次以鄰接矩陣作存儲結(jié)構(gòu)：處理所 有的邊需 O(n n^2)的時(shí)間 ，故總代價(jià)為 O(n^2)。對于使用 kruskal 算法和深度優(yōu)先搜索結(jié)合的算法，對邊的遍歷至多是 e 此故其總代價(jià)為 O(n^2*e)。

　四． 總結(jié) 這個(gè)題目的主要要求是通過使用不同的算法求出圖的最小生成樹，并且通過畫圖動(dòng)態(tài)的顯示出來其不同的算法在求解最小生成樹時(shí)的運(yùn)行步驟。在我的程序中已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了對給出的這一例子使用 Prime 算法、Kruskal 算法求解最小生成樹的運(yùn)算過程的動(dòng)態(tài)顯示，除此之外，對于還實(shí)現(xiàn)了在邊通分量的查詢與合并的過程中，采用廣度優(yōu)先搜索算法（Breadth First Search）、深度優(yōu)先搜索算法(Depth First Search)和并查集（Union-Find Set）三種方法來實(shí)現(xiàn)對此例中圖的最小生成樹的求解，主要是將這三種搜索方法與 Kruakal 結(jié)合來實(shí)現(xiàn)對最小生成樹的求解。

　 雖然通過例子實(shí)現(xiàn)了使用題目中要求的算法來求解最小生成樹，但是沒能實(shí)現(xiàn)給用戶一個(gè)友好的界面來方便求解各種不同的圖的最小生成樹，只能通過改變程序里面相關(guān)的存儲變量來實(shí)現(xiàn)對不同圖的最小生成樹的求解。同時(shí)由于對于作圖這方面不是很熟練，沒能實(shí)現(xiàn)對圖的動(dòng)態(tài)擴(kuò)充，所以只能是實(shí)現(xiàn)對一定數(shù)目，一定邊數(shù)的圖的求解。為了我的程序更加完美我會(huì)繼續(xù)努力，從而實(shí)現(xiàn)圖的動(dòng)態(tài)擴(kuò)充，同時(shí)讓程序更為簡練。

　 在最初選擇題目的時(shí)候，總是覺得自己對使用 MFC 來畫圖這一方面不是很熟悉，擔(dān)心自己做不出來。在實(shí)現(xiàn)在邊通分量的查詢與合并的過程中，采用廣度優(yōu)先搜索算法（Breadth

　First Search）、深度優(yōu)先搜索算法(Depth First Search)和并查集（Union-Find Set）三種方法來實(shí)現(xiàn)對此例中圖的最小生成樹的求解，這一方面最初也是相當(dāng)?shù)募m結(jié)，不知道該從什么方面下手。因?yàn)樵趯W(xué)習(xí)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的時(shí)只知道廣度優(yōu)先搜索算法（Breadth First Search）、深度優(yōu)先搜索算法(Depth First Search)是用來遍歷圖的，平時(shí)沒有在搜索的過程中使用此種算法，不知道該從何下手，通過老師的講解多多少少悟出了點(diǎn)，之后反復(fù)的思考最終通過使用隊(duì)列實(shí)現(xiàn)了在邊通分量的查詢與合并的過程中，采用廣度優(yōu)先搜索算法（Breadth First Search），通過使用棧實(shí)現(xiàn)了在邊通分量的查詢與合并的過程中，深度優(yōu)先搜索算法(Depth First Search)。

　這讓我意識到學(xué)習(xí)到的知識一定要活用才能創(chuàng)造出更好的方法，只是使用它通常的用途是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。

　雖然做的時(shí)候還是很多都不熟悉，但是我知道如果我不嘗試這去做的話就真的什么也做不出來了。雖然最后做的和自己最初設(shè)想的有所差異，但是題目中的要求我都完成了，還是小有成就感的。所以通過這次的實(shí)習(xí)，讓我認(rèn)識到只要去嘗試，去努力沒有什么是不可以做的。

　 參考文獻(xiàn)：

　[1]朱戰(zhàn)立，數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)—使用 c 語言（第四版），電子工業(yè)出版社 2010 年 11 月 [2]王桂平、王衍、任嘉辰，圖論算法理論、實(shí)現(xiàn)及應(yīng)用，北京大學(xué)出版社，2011 年 1 月 [3]孫鑫、余安萍，VC++深入詳解，電子工業(yè)出版社 2011 年 5 月

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