《創(chuàng)新話舊》第2章（3）

　　2．3 懸浮粒子對流碰并統(tǒng)計理論的誕生

　　2．3．1懸浮體力學(xué)與云物理的結(jié)合

　　本章開頭講過，懸浮粒子對流碰并統(tǒng)計理論是我到劍橋后的第一個工作。但后來由于半道又插進第二個沉降工作，所以這工作直到我回國以后才完成。出乎我的意料，當(dāng)我同意回到云物理，以向巴切勒的懸浮體力學(xué)靠攏時，他就先向我請教起關(guān)于云物理的一些ABC問題來。巴切勒是在國際上享有盛譽的大權(quán)威，而我還是個不知名的小人物，真不知道他還具有這樣“不恥下問”的精神。我于是盡我所知向他介紹了云物理的ABC，并講述了云滴增長的兩個基本過程。一個是凝結(jié)增長過程，另一個是重力碰并增長過程。前者主要作用在云滴比較小，大致小于半徑20微米，后者主要作用在比較大主要在大于半徑30微米范圍，兩者之中有一個著名的生長溝�，F(xiàn)有的理論很難跨越過去，從而無法解釋對流云的陣性降水問題。巴切勒對凝結(jié)過程沒有表現(xiàn)出興趣。他感興趣的是重力碰并增長過程，而這是他從來沒有做過的。他當(dāng)時問我，云物理在重力碰并研究中有沒有考慮過布朗運動。我說沒有，我告訴他，云物理中是使用軌跡法研究重力碰并，當(dāng)然就不可能考慮布朗運動。他斷然說不行。這是他多年來從事懸浮體力學(xué)研究得出的第一反映。因為在他看來，云霧也是一個懸浮體，而對懸浮體力學(xué)的研究，已經(jīng)證明隨機的布朗運動是懸浮粒子運動的基本特征。由此可知，在云物理中同樣也不應(yīng)使用在重力碰并中一貫采用的軌跡分析法，這是第一點。第二點，按照流體力學(xué)和懸浮體力學(xué)的經(jīng)驗，即使在高皮克列特數(shù)條件下，也可能存在一個邊界層。

在邊界層中，布朗運動有可能不可忽略，這會對重力碰并產(chǎn)生直接影響。為研究邊界層的影響，也必須使用粒子對的統(tǒng)計對分布方程方法。這是在巴切勒的懸浮體力學(xué)和我的云物理相結(jié)合后，他馬上產(chǎn)生的新想法。正是在這種相互切磋中產(chǎn)生了新的靈感火花�？磥硭�在“不恥下問”的過程中，也沒有忘記一個理論工作者的基本職責(zé)──“西風(fēng)凋碧樹”。而且作為一個“凋碧樹”的大家，他能一下子“凋”到斯莫魯霍夫斯基軌跡法的核心問題，盡管他從來沒有做過碰并工作。后來的研究表明，當(dāng)時巴切勒的第二點想法不對，因為在邊界層里，除了布朗擴散項以外，還有范德瓦爾斯分子引力項，這一項是產(chǎn)生碰并的主要物理因子。沒有它就不可能有碰并發(fā)生。但有了它，布朗擴散項就只好忽略了。因為它是一個趨于0的小量，而范德瓦爾斯分子引力項卻是趨于無窮大的量。盡管如此，巴切勒的第一點想法卻無可辯駁，被一再證明正確。顯示出他作為流體力學(xué)一代大師的英明。

　　后來我才知道，這種虛心向內(nèi)行人請教，并在相互切磋中抓住新問題以開展一項新工作，是他們推動科研工作的主要方法�；貒�后，當(dāng)我繼續(xù)開展在劍橋還沒有作完的碰并工作時，巴切勒還在倫敦組織過一次碰并問題的國際會議，這仍然是為了我們的工作。這種方法與我以前在中國科學(xué)院經(jīng)歷過的不同。那時，我們每當(dāng)要開展一項新工作時，導(dǎo)師總要組織大家（包括導(dǎo)師自己進行一次學(xué)習(xí)。但在劍橋，我沒有看到巴切勒學(xué)云物理，也沒有看到他學(xué)碰并文獻；
他也沒有要我學(xué)懸浮體力學(xué)及碰并文獻。當(dāng)然在開始時，他曾要我學(xué)他的1967年發(fā)表的《流體力學(xué)導(dǎo)論》并給了我兩篇他在沉降和傳質(zhì)上的文獻。他和我的交談，以及他在倫敦組織的碰并會議，實際上，就是他學(xué)習(xí)碰并并推動碰并工作的方法。他們的圖書資料室里經(jīng)常很少見到人，而同事之間的討論問題，卻時時處處都在。他們的學(xué)術(shù)交流真是做到家了，除了學(xué)術(shù)會議和報告會以外，還有飲茶室中的交流，辦公室內(nèi)的討論，以及個人之間隨時隨地的討論。

　　2．3．2 初次的成功

　　想法既已確定，下面就應(yīng)由我來解對分布方程以實現(xiàn)這想法。

到劍橋以前，我從來沒有聽說過對分布方程，不知其為何物，更不用說解這個方程了。對此我不免有些膽怯。巴切勒這時 拍拍我的肩膀?qū)ξ艺f，不用怕。他鼓勵我大膽地干，并表示他會做我的后盾。這使我有了勇氣，走上了這條當(dāng)時對我還是陌生的，求解高皮克列特數(shù)下，不穩(wěn)定系統(tǒng)中懸浮粒子統(tǒng)計對分布方程的征途。

　　開始的工作還不算太難。經(jīng)過了一段摸索，我終于克服了求解對分布方程外域解的困難。使用流體力學(xué)中的微擾方法， 在高皮克列特數(shù)下，在外域可把布朗擴散項完全忽略掉，形成了一個純對流輸送方程。經(jīng)過努力，我得到了該方程的解析解。

我很高興這是我到劍橋后的第一次成功。時值巴切勒1980年第一次訪華。等他回劍橋后，我向他匯報了此事，他也很高興，說這個解很重要，很有意義。后來我才知道，這主要是指我這個解突破了他十年來想把單分散沉降理論發(fā)展成多分散沉降理論，而始終未能解決的難題，即求稀釋懸浮體中統(tǒng)計對分布的難題，現(xiàn)在這個難題被我無意中解決了，在這個解的基礎(chǔ)上，加上他的第二次近似──置邊界層問題于不顧，他就可以完成他的十年來未完成的多分散沉降理論的夙愿，至少是完成了第一步。有關(guān)這一問題，我們還將在后面第四章中詳談。

　　但是對我的碰并問題而言，我卻不能采用他的第二次近似，置邊界層問題于不顧。因為計算碰并率時的積分，是一個球面積分，積分面恰恰在兩個粒子相撞時的碰撞面上，這正是邊界層的底。顯然不解決邊界層問題，就無法計算出碰并率。為此，我還得繼續(xù)前進，去建立邊界層方程并求出邊界層解。然而在這個問題上，我遇到了一個更大的困難，那就是內(nèi)外域解相互匹配問題。

　　2．3．3內(nèi)外域解匹配的難題

　　在上節(jié)中找到的對分布外域解析解，它的內(nèi)極限是奇點，趨于無窮大。當(dāng)時我還只會按以前學(xué)過的，老式的卡爾曼-波爾豪森（Kármán-Pohlhausen）的邊界層銜接方法來和邊界層解銜接。按照這個方法，在邊界層頂銜接處就必然會發(fā)生解不光滑的問題。對分布函數(shù)的函數(shù)值本身雖然連續(xù)，但函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)卻不連續(xù)，在邊界層頂部產(chǎn)生突然轉(zhuǎn)折現(xiàn)象。對此，巴切勒拒絕接受。我很苦惱，后來有一次在飲茶室休息時，劍橋的朋友們在閑談中了解到我當(dāng)時的苦惱，于是他們向我推薦了美國學(xué)者范戴克的著作《流體力學(xué)中的微擾方法》一書。我很快從書店買到這本書的1975 年修訂版。學(xué)習(xí)以后才知道,在邊界層求解中,卡爾曼-波爾豪森的內(nèi)外域銜接方法現(xiàn)在已經(jīng)過時,目前人們經(jīng)常使用的是一個更好的方法，這就是內(nèi)外域匹配漸近展開法。按照這個方法的原理，要求外域解的內(nèi)極限和內(nèi)域解的外極限必須相等。只有在這個條件下,內(nèi)外域解匹配起來后才會光滑，不會產(chǎn)生突然轉(zhuǎn)折現(xiàn)象。但是如何才能使我的問題滿足這個匹配原理呢？顯然我不能直接用對分布函數(shù)來銜接了，因為它的外域解的內(nèi)極限是無窮大，無法滿足這個匹配原理。經(jīng)過許多天的緊張?zhí)剿?正如第一章中講到的第三境界一樣,經(jīng)歷了“眾里尋他千百度”以后，在一次夜深人靜，人已上床準(zhǔn)備入睡而又無法使思維活動停下來。相反，思維活動卻是越來越活躍，越來越清晰，突然就找到了答案。既然，我不能直接探尋對分布的解。那麼，我可以通過一個變換來解決匹配上的困難。亦即第一章中談過的j變換，j的定義是對分布和它的外域解的比，這個比在外域顯然恒等于1，它的內(nèi)極限自然也是1，而不再是原來外域解的內(nèi)極限──無窮大。按照這個思路，在內(nèi)域，我不能再建立對分布的邊界層方程而應(yīng)轉(zhuǎn)而建立變換j的邊界層方程，同時令j的邊界層解的外極限為1，這樣導(dǎo)出的j的邊界層解就自然而然地和j的外域解的內(nèi)極限相等，從而可以滿足匹配漸近展開法的匹配原理。我馬上把這個新想法報告給巴切勒。這一次他終于點頭了，稱贊地說“good idea!”（是個好想法�。┯谑�，內(nèi)外域匹配上的難題就通過引進j變換而解決。

　　2．3．4 MLB方法的成功應(yīng)用

　　以上的工作在劍橋完成。由于后來在巴切勒的建議下，我參加了他的沉降工作，因此碰并工作暫停。直到我1982年2月回國，才重新啟動。這時巴切勒和我就分散在劍橋和合肥兩地，通過通信繼續(xù)合作。上節(jié)談到我已建立起對分布變換j的邊界層方程，這方程仍然是一個偏微分方程，根據(jù)流體力學(xué)和懸浮體力學(xué)中傳質(zhì)問題上的MLB方法(即米塞斯-列維奇-巴切勒（Mises-Levich-Batchelor）方法)有可能把邊界層的偏微分方程轉(zhuǎn)化為一個常微分方程，從而得到問題的解析解。這個方法又包括了三次變換：流函數(shù)y變換，切向自變量t變換以及相似變換。這方法原來是米塞斯在1923年和列維奇在1962年提出的，后來巴切勒在他1979年發(fā)表的傳質(zhì)問題論文中，對此方法又有新的發(fā)展，故稱為MLB方法。

初看起來這方法不能應(yīng)用到我的碰并問題，因為該方法的第一次變換是流函數(shù)y變換。流體力學(xué)告訴我們，只有速度場是管量場，即它的散度為0時，才有流函數(shù)y存在。這是應(yīng)用MLB方法的大前提，而這一前提在碰并問題之中并不存在，因為兩個粒子間由重力造成的相對運動速度場，并不是一個管量場，也就是說，它的散度不為0。所以從這一點看，這方法不能應(yīng)用于我的碰并問題中。然而后來，巴切勒在一次來信中講到，他已克服了這個難題，找到了應(yīng)用MLB方法的鑰匙。原來，他料定對粒子間相對重力運動速度場乘以某一個函數(shù)h(q)后，速度場就可以由原來的非管量場變成管量場，這里q是極角。他用反推法找到這一函數(shù)因子h(q)的具體形式。他先令速度場乘以h(q)后的散度為0，由此得到一個常微分方程。解這個方程就找到了待求的h(q)。此后就一直使用被h(q)乘過的新的速度場，于是現(xiàn)在我們就可使用MLB方法順利地把邊界層的偏微分方程轉(zhuǎn)化為簡單的常微分方程，并得到一個很漂亮的解析解。對此，我不能不嘆服巴切勒數(shù)理水平之高超。他不但是善于發(fā)現(xiàn)問題的高手，而且也是一位善于解決問題的能人。

　　2．3．5 戰(zhàn)勝戴維斯（Davis） 的挑戰(zhàn)

　　然而我的對流碰并新理論還沒有最后完成，前面在第一章里第四境界──“西風(fēng)再凋碧樹”中已經(jīng)談到過。這理論碰到的最后一次挑戰(zhàn)來自當(dāng)時美國的一位年輕學(xué)者戴維斯，此人是在我離開劍橋后才從美國到劍橋來的。他當(dāng)時接受了巴切勒的建議，用斯莫魯霍夫斯基的軌跡分析法，檢驗一下我們這個新的統(tǒng)計理論，同時還要研究一下粒子慣性對重力碰并的影響，以此作為他的博士后論文。果然讓他找到了我們新理論中的一個錯誤。而且他證明給巴切勒看，這錯誤是致命而且無法挽救，只有放棄。巴切勒接受了他的意見，建議我也放棄這一工作，這工作就被戴維斯一下子槍斃掉了。巴切勒這封信是在他上次解決流函數(shù)難題的那封來信之后，過了幾個月才來的�？磥恚�讓他接受戴維斯的意見也不那麼容易。巴切勒在這封來信中接著說，放棄這個工作他也很難受，因為他也為此化費了不少心血。但是他接著說，現(xiàn)在他也沒有別的辦法，既然是無可挽回的致命錯誤，那只有放棄。接到這封信后我大吃一驚。我好像迎頭挨了一悶棍，被人打倒在地。然而我沒有服輸，而是起而應(yīng)戰(zhàn)。我想，巴切勒是在國際上久負盛譽的大人物，成果累累，放棄一個成果，對他可能不算甚麼。然而我卻不能，我必須奮起應(yīng)對來自戴維斯的挑戰(zhàn)。經(jīng)過幾天幾夜的努力，我終于找到了一個新方案，它可以糾正我們那個被戴維斯檢查出來的錯誤。我把這個新方案報告給了巴切勒，但是他不接受。他現(xiàn)在有了新的想法，就很難再改變。直到1983年9月，他應(yīng)邀在北京舉行的亞洲第二屆流體力學(xué)代表大會上，為大會作特邀報告。我們在北京再次見面了，我向他報告了我得到的最新數(shù)據(jù)。他仍然不信，不過他表示，當(dāng)晚他會再仔細地審查一下我的最新數(shù)據(jù)。這天晚上，我也暗暗地下了決心。準(zhǔn)備第二天萬一他仍然不肯接受我的新方案，我就向他攤牌。在這種情況下，我就會向他提出要求，要求他同意由我一個人來發(fā)表。因為我相信這方案正確。不料，第二天他終于改變了他的想法，接受了我的新方案。這個新方案終于得到巴切勒的認(rèn)可，并于次年1984年發(fā)表在中文版的《中國科學(xué)》上，1985年又發(fā)表在英文版的《中國科學(xué)》上。懸浮粒子對流碰并中的一個新理論，就這樣誕生了。那么，戴維斯向我發(fā)出的挑戰(zhàn)究竟是什么？我又如何應(yīng)對他的挑戰(zhàn)呢？

　　原來，為要應(yīng)用MLB方法把邊界層方程從偏微分方程變?yōu)槌Ｎ⒎址匠�，需要進行一次相似變換。在相似變換中，人們要把切向坐標(biāo)變量和法向坐標(biāo)變量組合成一個新的相似變量，代入原方程后，原來的偏微分方程，就有可能轉(zhuǎn)化為以此相似變量為變數(shù)的常微分方程。這種變換不是無條件的，其條件就是要求粒子間重力相對速度的切向分量，在整個邊界層中應(yīng)該是常數(shù)。然而實際上它并不是個常數(shù)，它是隨高度的降低而不斷地減少，(點擊此處閱讀下一頁)

　　是一個高度的對數(shù)的二次多項式分式，很復(fù)雜。這當(dāng)然阻礙我們在本問題上應(yīng)用MLB方法中的相似變換。對此，我們采取了又一假定，即假定在整個邊界層中它可以取邊界層底的數(shù)值來近似。由于邊界層很薄，我們原以為可以做這個近似。但戴維斯的計算表明，當(dāng)人們對切向速度分量取它原來那個復(fù)雜的對數(shù)的二次多項式分式時，計算結(jié)果與我們這個近似有相當(dāng)大的誤差。誤差之大超出了許可范圍，不能采用。而如果我們不做這個常數(shù)近似，就無法應(yīng)用MLB方法中的相似變換于本問題。也就無法得到那個漂亮的解析解，而只能轉(zhuǎn)而求數(shù)值解。而數(shù)值解卻是巴切勒這位劍橋?qū)W派的代表人物所無法接受的。結(jié)論就只能是放棄這工作，這就是來自戴維斯的挑戰(zhàn)。巴切勒服了，但是我沒有服。我在合肥經(jīng)過幾天幾夜的努力，仔細地檢查并分析了這個切向速度分量的對數(shù)二次多項式分式的變化規(guī)律，最后發(fā)現(xiàn)這基本上仍和簡單的對數(shù)變化規(guī)律相似。粒子進入邊界層后，它的切向速度確實隨高度降低而減少，但減少的速率非常慢，只是到接近邊界層底時，它才迅速地降到邊界層底那個極限值。正因為如此，我們原來以邊界層底的切向速度分量來近似整個邊界層的情況，當(dāng)然就會帶來很大誤差。然而正是因為有這個發(fā)現(xiàn)，我才能提出一個新方案來解決 戴維斯給我們出的難題。那就是用切向速度分量在邊界層頂?shù)哪莻�值為常數(shù)，來近似整個邊界層的數(shù)值，這符合對數(shù)變化的特點，應(yīng)該不會產(chǎn)生很大誤差。同時又使我們?nèi)匀荒軕?yīng)用MLB方法，化邊界層偏微分方程為常微分方程并進而得到問題的解析解。按這新方案計算出的數(shù)據(jù)表明，這個設(shè)想很對。最后巴切勒也接受了它，戴維斯也放棄了他的挑戰(zhàn)，一個對流碰并的新理論才得以誕生。

　　2．3．6 新理論的意義、檢驗和影響

　　新理論第一次在對流碰并領(lǐng)域得到了一個解析解，從這解析解中我們才能揭示出對流碰并真實的物理：當(dāng)有對流碰并發(fā)生時，在參考粒子的表面會存在一個由范德瓦爾斯分子引力控制的邊界層。對流碰并捕獲系數(shù)新的解析公式說明，捕獲系數(shù)和粒子在邊界層頂?shù)臐舛瘸烧�比，也就是說，先由對流運動把粒子從無窮遠處輸送到邊界層頂，然后其中的一部分在范德瓦爾斯分子引力勢作用下，為參考粒子所捕獲。很顯然， 斯莫魯霍夫斯基當(dāng)年提出的“撞擊模型”沒有反映出過程的真實物理。新理論的第二個意義在于，它把統(tǒng)計理論第一次伸展到確定論型的對流碰并中來，也就是說，統(tǒng)計理論不但能處理含隨機的布朗運動的碰并問題，而且也能處理完全不含一點點布朗運動的對流碰并問題。而這個領(lǐng)域原來是斯莫魯霍夫斯基的軌跡分析法所獨占的。斯莫魯霍夫斯基的軌跡分析法，在懸浮粒子的對流碰并領(lǐng)域里統(tǒng)治了將近七十年，盡管它具有如前所述的缺點，防礙了人們對耦合碰并的研究。這障礙現(xiàn)在終于被我們打破了。這就為下一章使用統(tǒng)計理論方法來建立重力對流和布朗運動耦合碰并理論打下了堅實的理論基礎(chǔ)。統(tǒng)計理論可以處理皮克列特數(shù)從無窮大到0全部范圍的碰并問題，從純確定型的對流碰并經(jīng)過耦合碰并一直到純概率論型的布朗碰并。而這是原來斯莫魯霍夫斯基的軌跡分析法所無能為力的。

　　新理論當(dāng)然還需要進行檢驗，但這個檢驗已由巴切勒自己做完了。完全是由于他有很強烈的“西風(fēng)再凋碧樹”的精神。對于重力碰并情況，如上所述，是由他請來的戴維斯做好。當(dāng)我們把新方案展示給戴維斯后，他對這一方案也表示了肯定，并且在他后來發(fā)表的論文中引用了我們的新數(shù)據(jù)。在他的論文中他承認(rèn)我們的新理論，對于重力碰并情況和他用軌跡分析法算得的一致。我們的理論也曾應(yīng)用到由背景流場引起的對流碰并，如軸對稱純變形流場對流碰并。這個例子曾由美國著名膠體科學(xué)家肖瓦爾特和他的合作者澤西奈爾（Zeichner）在1977年使用軌跡分析法計算過。他們的數(shù)據(jù)以圖形式發(fā)表，直接從圖上讀取數(shù)據(jù)則太粗糙。為了能進行精確的檢驗，巴切勒打電話給肖瓦爾特，請他送幾個原始的精確數(shù)據(jù)過來。肖瓦爾特答應(yīng)了巴切勒的請求，并送了兩個有代表性的原始數(shù)據(jù)給我們。

于是我們很高興地看到，我們的統(tǒng)計理論也和肖瓦爾特的軌跡分析法的一致。而且符合得比重力碰并還要好。1984年我到南開大學(xué)后，曾指導(dǎo)過天津大學(xué)力學(xué)系一位研究生林紅的學(xué)位論文。我建議她的題目，就是把邊界層方程中的切向速度分量，不再使用常數(shù)近似，而是使用它的本來面目—高度的對數(shù)二次多項式分式，進行數(shù)值計算，求數(shù)值解。以進一步檢驗我們那個以邊界層頂?shù)那邢蛩俣确至縼斫�似整個邊界層情況的可靠性。林紅的計算表明我們那個近似所得到的解析解與她的數(shù)值解一致。以上三次檢驗說明了新的理論的正確，能夠以它為出發(fā)點來進一步研究懸浮粒子耦合碰并問題，特別是高皮克列特數(shù)下的強對流與弱布朗耦合碰并問題。

　　新理論發(fā)表后，得到有關(guān)領(lǐng)域的同行關(guān)注，為大家所引用。特別值得提一下的是由于這理論闡明了隨機事件和必然事件并非相互對立，而是可以相互轉(zhuǎn)化，在一定條件下確定論型問題也可用概率論型的方法來處理。因此它也引起國際統(tǒng)計物理界的興趣。我們曾在《SCI》檢索中發(fā)現(xiàn)，在國際統(tǒng)計物理方面的雜志也有人引用過我們這個對流碰并的的統(tǒng)計理論。

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