摘要:探討了整除與同余之間的關系,給出了時能被整除的整數的特征,同時給出了能被某些或某一類的整數整除的整數的特征及一些具體的形式。 　　關鍵字:整除;同余;整數特征;互素
　　中圖分類號:O15文獻標識碼:A文章編號:1003-2851(2010)09-0098-02
　　
　　1. 引言
　　整除問題是初等數論研究的一個基本而有趣的問題,尤其是尋找一些數的整除特征一直吸引著許多數學愛好者.例如,能被3、9、11等數整除的整數特征,在許多文獻中如《初等數論》、《數論妙趣》等中可以看到。在徐兆強教授編著的《初等數論》中一個同余例題:a>0,證明17|a?圳將a的個位數字截去,然后減去個位數字的5倍后能被17整除。我們將其推廣至一個與10互素的整數整除正整數的充要條件。與10互素的整數分為四類:10k+1、10k+3、10k+7、10k+9(k∈Z),以下分別進行了討論.為此先給出下面幾個引理:
　　引理1[1]:a=b(modm)?圳m|a-b或a=b+mt(t是實數)
　　引理 2[1]:a=b(modm),b=c(modm)?圯a=c(modm)
　　引理 3[3]:(c,m)=1,ac=bc(modm)?圯a=b(modm)
　　2.主要定理和推論
　　2.1 能被10k+1(k∈Z)整除的整數特征
　　對于與10互素的一種類型的整數,比如11、21等,我們有下面的結論.
　　定理1設a是大于0的整數,則10k+1(k∈Z)|a?圳將a的個位數字截去,然后減去個位數字的k(k∈Z)倍后能被整除.
　　證明見文獻[4].
　　定理2a是大于0的整數,10k+1(k∈Z)|a?圳將a的個位數字截去,然后加上個位數字9k+1(k∈Z)的倍后能被10k+1整除.
　　證明 設 a=10x+y,0≤y≤9
　　有a=10(x+(9k+1)y)-9(10k+1)y
　　根據引理1 可得
　　a=10(x+(9k+1)y)(mod(10+1))
　　由引理2 得
　　a=0(mod(10k+1))?圳10(x+(9k+1)y)=0(mod(10k+1))
　　又(10k+1,10)=1 ,
　　再由引理3 得到10(x+y)=0(mod(10k+1))?圳x+(9k+1)y=0(mod(10k+1)?圳10k+1/x+(9k+1)y) 證完.
　　于是可得到下面熟知的一些結論:
　　推論1正整數能被11整除的充要條件是將該正整數的個位數字截去,然后減去個位數字后能被11整除.
　　推論2正整數能被101整除的充要條件是將該正整數的個位數字截去,然后減去個位數字后能被101整除.
　　2.2 能被10k+3(k∈Z)整除的整數特征
　　對于與10互素的另一種類型的整數,比如13、23等,我們也有下面的結論.
　　定理3正整數能被10k+3(k∈Z)整除的充要條件是把a的個位數字截去,然后加上個位數字3k+1(k∈Z)的倍后能被10k+3整除.
　　證明見文獻[4].
　　類似地,我們也可以得到與定理3平行的結論:
　　定理4a是大于0的整數,10k+3(k∈Z)|a?圳將a的個位數字截去,然后減去個位數字的7k+2倍后能被10k+3整除.
　　證明 設a=10x+y,0≤y≤9
　　有 a=10(x-(7k+2)y)+7(10k+3)y
　　根據引理 1可得
　　a=10(x-(7k+2)y)(mod(10k+3))
　　由引理2 得
　　a=0(mod(10k+3))?圳10(x-(7k+2)y)=0(mod(10k+3))
　　又(10k+3,10)=1 ,
　　再由引理3 得到
　　10(x-(7k+2)y)=0(mod(10k+3))?圳x-(7k+2)y=0(mod(10k+3))?圳10k+3/x-(7k+2)y 證完.
　　于是也可得到下面熟知的一些結論:
　　推論3 a>0 ,證明13|a?圳將a的個位數字截去,然后減去個位數字的倍后能被13整除.
　　推論4a>0,證明23|a?圳將a的個位數字截去,然后加上個位數字的倍后能被23整除.
　　2.3 能被10k+7(k∈Z)整除的整數特征
　　對于與10互素的另一種類型的整數,比如7、27等,我們也有下面的結論.
　　定理5正整數a能被10k+3(k∈Z)整除的充要條件是把a的個位數字截去,然后減去個位數字的3k+2(k∈Z)倍后能被10k+7整除.
　　證明見文獻[4].
　　類似地,我們也可以得到與定理5平行的結論:
　　定理6 a 是大于0的整數,則10k+7(k∈Z)|a?圳將a的個位數字截去,然后加上個位數字的7k+5(k∈Z)倍后能被10k+7整除.
　　證明 設 a=10x+y, 0≤y≤9
　　有 a=10(x-(7k+5)y)-7(10k+7)y
　　根據引理1 可得
　　a=10(x+(7k+5)y)(mod(10k+7))
　　由引理2 得
　　a=0(mod(10k+7))?圳10(x+(7k+5)y)=0(mod(10k+7))
　　又(10k+710)=1 ,再由引理3 得到
　　10(x+(7k+5)y)=0(mod(10k+7))?圳x+(7k+5)y=0(mod(10k+7))?圳10k+7/x-(7k+5)y 證完.
　　于是也可得到下面熟知的一些結論:
　　推論5 a>0 ,證明7|a?圳將a的個位數字截去,然后加上個位數字的倍后能被7整除.
　　推論6a>0,證明27|a?圳將a的個位數字截去,然后減去個位數字的倍后能被27整除.
　　2.4 能被10k+9(k∈Z)整除的整數特征
　　對于與10互素的另一種類型的整數,比如9、19等,我們也有下面的結論.
　　定理7正整數a能被10k+9(k∈Z)整除的充要條件是把a的個位數字截去,然后加上個位數字的k+1(k∈Z)倍后能被10k+9整除.
　　證明見文獻[4].
　　類似地,我們也可以得到與定理7平行的結論:
　　定理8正整數能被10k+9(k∈Z)整除的充要條件是把的個位數字截去,然后減去個位數字的9k+8倍后能被10k+9整除.
　　證明設 a=10x+y,0≤y≤9
　　有a=10(x-(9k+8)y)+9(10k+9)y
　　根據引理1 可得
　　a=10(x-(9k+8)y)(mod(10+9))
　　由引理2 得
　　 a=0(mod(10k+9))?圳10(x-(9k+8)y)=0(mod(10k+9))
　　又(10k+9,10)=1 ,
　　再由引理3 得到
　　10(x-(9k+8)y)=0(mod(10k+9))?圳x-(9k+8)y=0(mod(10k+9))?圳10k+9/x-(9k+8)y 證完.
　　于是也可得到下面熟知的一些結論:
　　推論7 a>0 ,證明9|a?圳將a的個位數字截去,然后減去個位數字的8倍后能被9整除.
　　推論8a>0,證明19|a?圳將a的個位數字截去,然后加上個位數字的2倍后能被19整除.
　　3.應用舉例
　　我們僅就能被10k+1和10k+3(k∈Z)整除的整數給出下面兩個例子.
　　例1不做除法,判斷下面數能否被11整除.
　　 解 注意到11屬于10k+1(k∈Z)類型的整數,應用定理1時可使用下述較為方便的方法:
　　 如26796被11整除?圳2679-6=2673被整除?圳267-3=264被11整除?圳26-4=22被11整除.因此,能夠被11整除.
　　 例2判斷234567能否被13整除.
　　 解 同樣,注意到13屬于10k+3(k∈Z)類型的整數,應用定理4時可使用下述較為方便的方法:
　　由題意可得,234567被13整除?圳23456-7(7+2)=23493被13整除?圳2349-3(7+2)=2322被13整除?圳232-2(7+2)=214被13整除?圳21-4(7+2)=-15被13整除.因此,234567不能夠被13整除.
　　
　　參考文獻
　　[1] 徐兆強.初等數論[M].甘肅:甘肅教育出版社,1999.
　　[2] [美]阿爾伯特H貝勒著,談祥柏譯.數論妙趣[M].上海:上海教育出版社,2001.
　　[3] 陳曉東.一類數的整除特征[J],江西:江西金融職工大學學報,2006(6):305-306.
　　[4] 朱衛(wèi)平.能被奇數整除的整數特征研究[J] ,浙江:湖州師范學院學報,2002(6):21-24.

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