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江西省南昌市2015-2016學(xué)年度第一學(xué)期期末試卷

（江西師大附中使用）高三理科數(shù)學(xué)分析

試卷緊扣教材和考試說明，從考生熟悉的基礎(chǔ)知識入手，多角度、多層次地考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)理性思維能力及對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解能力，立足基礎(chǔ)，先易后難，難易適中，強調(diào)應(yīng)用，不偏不怪，達到了“考基礎(chǔ)、考能力、考素質(zhì)”的目標。試卷所涉及的知識內(nèi)容都在考試大綱的范圍內(nèi)，幾乎覆蓋了高中所學(xué)知識的全部重要內(nèi)容，體現(xiàn)了“重點知識重點考查”的原則。 1．回歸教材，注重基礎(chǔ)

試卷遵循了考查基礎(chǔ)知識為主體的原則，尤其是考試說明中的大部分知識點均有涉及，其中應(yīng)用題與抗戰(zhàn)勝利70周年為背景，把愛國主義教育滲透到試題當中，使學(xué)生感受到了數(shù)學(xué)的育才價值，所有這些題目的設(shè)計都回歸教材和中學(xué)教學(xué)實際，操作性強。 2．適當設(shè)置題目難度與區(qū)分度

選擇題第12題和填空題第16題以及解答題的第21題，都是綜合性問題，難度較大，學(xué)生不僅要有較強的分析問題和解決問題的能力，以及扎實深厚的數(shù)學(xué)基本功，而且還要掌握必須的數(shù)學(xué)思想與方法，否則在有限的時間內(nèi)，很難完成。 3．布局合理，考查全面，著重數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想的考察

在選擇題，填空題，解答題和三選一問題中，試卷均對高中數(shù)學(xué)中的重點內(nèi)容進行了反復(fù)考查。包括函數(shù)，三角函數(shù)，數(shù)列、立體幾何、概率統(tǒng)計、解析幾何、導(dǎo)數(shù)等幾大版塊問題。這些問題都是以知識為載體，立意于能力，讓數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)思維方式貫穿于整個試題的解答過程之中。

二、亮點試題分析

1．【試卷原題】11.已知A,B,C是單位圓上互不相同的三點，且滿足AB?AC，則ABAC?的最小值為（ ）

?

?

??

1

41B．?

23C．?

4D．?1

A．?

【考查方向】本題主要考查了平面向量的線性運算及向量的數(shù)量積等知識，是向量與三角的典型綜合題。解法較多，屬于較難題，得分率較低。

???

【易錯點】1．不能正確用OA，OB，OC表示其它向量。

????

2．找不出OB與OA的夾角和OB與OC的夾角的倍數(shù)關(guān)系。

???

【解題思路】1．把向量用OA，OB，OC表示出來。

2．把求最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值求解。

??2??2

【解析】設(shè)單位圓的圓心為O，由AB?AC得，(OB?OA)?(OC?OA)，因為

??????

，所以有，OB?OA?OC?OA則OA?OB?OC?1??????

AB?AC

?(OB?OA)?(OC?OA)

???2????

?OB?OC?OB?OA?OA?OC?OA

?????OB?OC?2OB?OA?1

????

設(shè)OB與OA的夾角為?，則OB與OC的夾角為2?

??11

所以，AB?AC?cos2??2cos??1?2(cos??)2?

22

??1

即，AB?AC的最小值為?，故選B。

2

?

?

【舉一反三】

【相似較難試題】【2015高考天津，理14】在等腰梯形ABCD中,已知

AB//DC,AB?2,BC?1,?ABC?60? ,動點E和F分別在線段BC和DC上,且,????????????1????????????BE??BC,DF?DC,則AE?AF的最小值為.

9?

【試題分析】本題主要考查向量的幾何運算、向量的數(shù)量積與基本不等式.運用向量的幾何

????????????????運算求AE,AF，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的基本思想，再運用向量數(shù)量積的定義計算AE?AF，體

現(xiàn)了數(shù)學(xué)定義的運用，再利用基本不等式求最小值，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的綜合應(yīng)用能力.是思維能力與計算能力的綜合體現(xiàn). 【答案】

????1????????1????

【解析】因為DF?DC,DC?AB，

9?2

????????????1????????1?9?????1?9?????CF?DF?DC?DC?DC?DC?AB，

9?9?18?

29 18

????????????????????AE?AB?BE?AB??BC，????????????????????????1?9?????1?9?????????AF?AB?BC?CF?AB?BC?AB?AB?BC，

18?18?

?????????????????1?9??????????1?9?????2????2??????1?9?????AE?AF?AB??BC??AB?BC??AB??BC??1????AB?BC

18?18?18?????

??

211717291?9?19?9?

?????? ?4????2?1?

cos120??

9?218181818?18

?????212???29

當且僅當. ??即??時AE?AF的最小值為

9?2318

2．【試卷原題】20. （本小題滿分12分）已知拋物線C的焦點F?1,0?，其準線與x軸的

?

交點為K，過點K的直線l與C交于A,B兩點，點A關(guān)于x軸的對稱點為D． （Ⅰ）證明：點F在直線BD上； （Ⅱ）設(shè)FA?FB?

?

?

8

，求?BDK內(nèi)切圓M的方程. 9

【考查方向】本題主要考查拋物線的標準方程和性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，圓的標準方程，韋達定理，點到直線距離公式等知識，考查了解析幾何設(shè)而不求和化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，是直線與圓錐曲線的綜合問題，屬于較難題。

【易錯點】1．設(shè)直線l的方程為y?m(x?1)，致使解法不嚴密。

2．不能正確運用韋達定理，設(shè)而不求，使得運算繁瑣，最后得不到正確答案。 【解題思路】1．設(shè)出點的坐標，列出方程。 2．利用韋達定理，設(shè)而不求，簡化運算過程。 3．根據(jù)圓的性質(zhì)，巧用點到直線的距離公式求解。

【解析】（Ⅰ）由題可知K??1,0?，拋物線的方程為y2?4x

則可設(shè)直線l的方程為x?my?1，A?x1,y1?,B?x2,y2?,D?x1,?y1?， 故?

?x?my?1?y1?y2?4m2

整理得，故 y?4my?4?0?2

?y?4x?y1y2?4

2

?y2?y1y24?

則直線BD的方程為y?y2?x??x?x2?即y?y2???

x2?x1y2?y1?4?

yy

令y?0，得x?12?1，所以F?1,0?在直線BD上.

4

?y1?y2?4m2

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知?，所以x1?x2??my1?1???my2?1??4m?2，

?y1y2?4

x1x2??my1?1??my1?1??1又FA??x1?1,y1?，F(xiàn)B??x2?1,y2?

故FA?FB??x1?1??x2?1??y1y2?x1x2??x1?x2??5?8?4m，

2

2

則8?4m?

??

??

84

,?m??，故直線l的方程為3x?4y?3?0或3x?4y?3?0 93

故直線

BD的方程3x?

3?0或3x?3?0，又KF為?BKD的平分線，

3t?13t?1

,故可設(shè)圓心M?t,0???1?t?1?，M?t,0?到直線l及BD的距離分別為54y2?y1?

?-------------10分 由

3t?15

?

3t?143t?121

? 得t?或t?9（舍去）.故圓M的半徑為r?

953

2

1?4?

所以圓M的方程為?x???y2?

9?9?

【舉一反三】

【相似較難試題】【2014高考全國，22】 已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，直線5

y＝4與y軸的交點為P，與C的交點為Q，且|QF|＝4（1）求C的方程；

（2）過F的直線l與C相交于A，B兩點，若AB的垂直平分線l′與C相交于M，N兩點，且A，M，B，N四點在同一圓上，求l的方程．

【試題分析】本題主要考查求拋物線的標準方程,直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用,韋達定理,弦長公式的應(yīng)用,解法及所涉及的知識和上題基本相同. 【答案】（1）y2＝4x.

（2）x－y－1＝0或x＋y－1＝0. 【解析】（1）設(shè)Q(x0，4)，代入

y2＝2px，得

x0＝，

p

8

8pp8

所以|PQ|，|QF|＝x0＝＋.

p22p

p858

由題設(shè)得＋＝p＝－2(舍去)或p＝2，

2p4p所以C的方程為y2＝4x.

（2）依題意知l與坐標軸不垂直，故可設(shè)l的方程為x＝my＋1(m≠0)． 代入y2＝4x，得y2－4my－4＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.

故線段的AB的中點為D(2m2＋1，2m)， |AB|m2＋1|y1－y2|＝4(m2＋1)．

1

又直線l ′的斜率為－m，

所以l ′的方程為x＋2m2＋3.

m將上式代入y2＝4x，

4

并整理得y2＋－4(2m2＋3)＝0.

m設(shè)M(x3，y3)，N(x4，y4)，

則y3＋y4y3y4＝－4(2m2＋3)．

m

4

?22?

2故線段MN的中點為E?22m＋3，－，

m??m

|MN|＝

4（m2＋12m2＋1

1＋2|y3－y4|＝.

mm2

1

由于線段MN垂直平分線段AB，

1

故A，M，B，N四點在同一圓上等價于|AE|＝|BE|＝，

211

22從而＋|DE|＝2，即 444(m2＋1)2＋

??22?2?2

?2m＋?＋?22?＝

m???m?

4（m2＋1）2（2m2＋1）

m4

化簡得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1， 故所求直線l的方程為x－y－1＝0或x＋y－1＝0.

三、考卷比較

本試卷新課標全國卷Ⅰ相比較，基本相似，具體表現(xiàn)在以下方面： 1. 對學(xué)生的考查要求上完全一致。

即在考查基礎(chǔ)知識的同時，注重考查能力的原則，確立以能力立意命題的指導(dǎo)思想，將知識、能力和素質(zhì)融為一體，全面檢測考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，既考查了考生對中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能的掌握程度，又考查了對數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解水平，符合考試大綱所提倡的“高考應(yīng)有較高的信度、效度、必要的區(qū)分度和適當?shù)碾y度”的原則． 2. 試題結(jié)構(gòu)形式大體相同，即選擇題12個，每題5分，填空題4 個，每題5分，解答題8個（必做題5個），其中第22，23，24題是三選一題。題型分值完全一樣。選擇題、填空題考查了復(fù)數(shù)、三角函數(shù)、簡易邏輯、概率、解析幾何、向量、框圖、二項式定理、線性規(guī)劃等知識點，大部分屬于常規(guī)題型，是學(xué)生在平時訓(xùn)練中常見的類型．解答題中仍涵蓋了數(shù)列，三角函數(shù)，立體何，解析幾何，導(dǎo)數(shù)等重點內(nèi)容。

3. 在考查范圍上略有不同，如本試卷第3題，是一個積分題，盡管簡單，但全國卷已經(jīng)不考查了。

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