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三角函數(shù)線解題之妙用

發(fā)布時(shí)間:2018-07-01 來源: 歷史回眸 點(diǎn)擊:


  摘 要:我們在解決三角函數(shù)的一些有關(guān)題目(如解不等式(組)、三角函數(shù)值的大小比較、求定義域以及不等式的證明等等)時(shí),經(jīng)常要用到數(shù)形結(jié)合的思想方法,即利用三角函數(shù)線(正弦線、余弦線、正切線)與單位圓的完美結(jié)合,構(gòu)造巧妙的數(shù)學(xué)模型,成為解決某些三角函數(shù)問題的有力工具。三角函數(shù)線與單位圓的充分結(jié)合,不僅能夠從圖形中刻畫三角函數(shù)的性質(zhì),而且還能直觀的展示出三角函數(shù)的值以及符號的正負(fù),發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)值的變化特點(diǎn),所以二者的有效結(jié)合已經(jīng)成為研究三角函數(shù)的一個(gè)重要工具,巧妙用之,能使某些復(fù)雜且難度較大的三角函數(shù)問題得以簡化,輕松解決,達(dá)到事半功倍的效果。下面我就用幾個(gè)典型的例子來說明三角函數(shù)線的巧妙之用,供讀者參考。
  關(guān)鍵詞:三角函數(shù);不等式;數(shù)學(xué)
  一、用三角函數(shù)線解不等式
  例1:解不等式[sinx≥32]。
  解:如圖,在(0,2π)內(nèi),利用正弦線作出正弦值為[32]的角的終邊,可以發(fā)現(xiàn),在(0,2π)內(nèi),正弦值為[32]的角為[π3]和[2π3],所以不等式[sinx≥32]的解集為:[[π3]+2[kπ],[2π3]+2[kπ]]([k]∈[Z])。
  【點(diǎn)評】
  在解決三角函數(shù)不等式時(shí),可以先求出[0,2π)內(nèi)的取值范圍,在根據(jù)周期性寫出R上所求的范圍,同時(shí)還要注意端點(diǎn)值是否可以取得。
  二、用三角函數(shù)線比較三角函數(shù)值的大小
  例2:比較[sinx,cosx,tanx]的大小,其中[x]∈([π4],[π4])。
  解:如圖,在[x]∈([π4],[π2])時(shí),角[x]的終邊落在第一象限,所以[sinx,cosx,tanx]三者的符號均為正,在單位圓中分別作出角[x]的正弦線MP,余弦線OM,正切線AT,由圖可知,OM  【點(diǎn)評】
  利用三角函數(shù)線與單位圓的完美結(jié)合,使得抽象復(fù)雜的問題變得直觀,簡單明了。
  三、用三角函數(shù)線求函數(shù)的定義域
  例3:求函數(shù)[f(x)=2sinx-1+lg (1-2cosx)]的定義域。
  分析易知,[f][(x)]的定義域由兩個(gè)限制條件共同決定,可轉(zhuǎn)化為不等式組的問題來求
  即求不等式組[2sinx-1≥01-2cosx>0]的解集。如圖,在(0,2π)內(nèi),[2sinx-1≥01-2cosx>0]的解集為圖中陰影部分所示,即[x∈(π3,5π6]],再由周期性便可以得出[f][(x)]的定義域。
  解:由[2sinx-1≥01-2cosx>0]得:
  [sinx≥12cosx<12π6+2kπ≤x≤5π6+2kππ3+2kπ  即[f(x)]的定義域?yàn)閇[2kπ+π3,2kπ+5π6]]([k]∈[Z])。
  【點(diǎn)評】
  在求解三角函數(shù)不等式組的交集時(shí),直接求解可能會陷入僵局,所以借助三角函數(shù)線的作用會化難為易,達(dá)到事半功倍的效果。
  四、用三角函數(shù)線證明三角函數(shù)不等式
  三角函數(shù)線不僅在解不等式(組)、比較大小、求定義域上體現(xiàn)出極大的優(yōu)越性,而且在證明中也表現(xiàn)出它強(qiáng)大的功能和作用。
  例4:求證:[sinα<α  證明:如圖,⊙O為單位圓,[α]的終邊交⊙O于P,過P作PM⊥[x]軸于M,過[x]軸與單位圓的交點(diǎn)A作單位圓的切線AT,交[α]的終邊于T,連接AP,有三角函數(shù)線的定義知,MP=[sinα],AT=[tanα],由圖可知,因?yàn)棣羀?](0,[π2]),所以[S?OAP  而[S?OAT=12OA·AT=12tanα],
  [S扇形OAP=12α·R2=12α],
  [S?OAP=12OA·MP=12sinα],
  故[12sinα<12α<12tanα],
  所以[sinα<α  【點(diǎn)評】
  此題若不借助三角函數(shù)線的功能來解決,是很困難的,所以在單位圓中作出正弦線、正切線及[α]弧段,借助三角函數(shù)線的幾何直觀性,建立各圖形面積不等式,便能容易地獲得結(jié)論。

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