例談“函數(shù)y=Asin(ωx+φ)圖象變換與性質(zhì)”內(nèi)容易錯點
發(fā)布時間:2018-06-22 來源: 歷史回眸 點擊:
三角函數(shù)具有特殊的函數(shù)圖象與性質(zhì),函數(shù)[y=Asin(ωx+φ)]的圖象變換主要有振幅變換、周期變換和相位變換。而對于周期變換和相位變換調(diào)整先后順序后的平移量,學(xué)生往往不能正確掌握,亦不能根據(jù)函數(shù)圖象確定三角函數(shù)的解析式,本文將用實例對這兩方面易錯點進行剖析。
1函數(shù)[y=Asin(ωx+φ)]的圖象變換中的易錯點分析
例1:要得到函數(shù)[y=2sin(2x+π4)]的圖象,只需將[y=sinx]的圖象經(jīng)過怎樣的變換?
1.1錯解
[y=sinx橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍,縱坐標不變y=sin2x向左平移π4個單位長度y=sin(2x+π4)縱坐標伸長為原來的2倍y=2sin(2x+π4)。]
1.2易錯分析
1.2.1一些學(xué)生不能理解為什么“由[y=sinx]→[y]=sin[ωx]([ω]>0)”的周期變換是將橫坐標變?yōu)樵瓉淼腫1ω]倍,而不是[ω]倍。正如此題中錯認為將[y=sinx]的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍就是[y=sin2x],比較兩個函數(shù)圖象,經(jīng)過周期變換之后點([π],0),([π],0)變?yōu)榱它c([π2],0),點([2π],0)變?yōu)榱耍╗π],0),所以是橫坐標變?yōu)榱嗽瓉淼腫12]倍,縱坐標不變。
1.2.2很多學(xué)生沒有理解相位變換的實質(zhì),因此容易出現(xiàn)此題中的錯誤“[y=sin2x向左平移π4個單位長度y=sin(2x+π4)]”,左右平移是相對于[x]來說的,而不是[ωx],所以應(yīng)該是向左平移[π8]個單位長度才得到[y=2sin2x+8=sin(2x+π4)],通過五點作圖法可以驗證。若是先相位變換,即向左平移[π4]個單位長度得到[y=sin(x+π4)],再周期變換,即橫坐標變?yōu)樵瓉淼腫12]倍得到[fx=sin(2x+π2)]。
1.3學(xué)習(xí)建議
周期變換和相位變換順序不同時,平移量是不同的,但都是對于同一變量[x]而言的。
1.3.1先周期變換后相位變換:[y=sinx]的圖象將橫坐標變?yōu)樵瓉淼腫1ω]倍即得[y=sinωx],再向左(右)平移[φω]個單位長度得到[y=sin(ωx+φ)]。
1.3.2先相位變換后周期變換:[y=sinx]的圖象向左(右)平移[φ]個單位長度得[y=sin(x+φ)],再將橫坐標變?yōu)樵瓉淼腫1ω]倍即可得到[y=sin(ωx+φ)]的圖象。
2根據(jù)圖象確定三角函數(shù)解析式中的易錯點
例2:函數(shù)[fx=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<π)]的部分圖象如圖所示,求其解析式。
2.1錯解1
由圖知,A=2,[T=2πω=7π8-π8=π],所以[ω=2],即[fx=2sin2x+φ],又函數(shù)[fx]過點[3π8,0],所以[2sin3π4+φ=0],即[3π4+φ=kπ],所以[φ=kπ-3π4k∈Z],所以[φ=-3π4]或[φ=π4],故[fx=2sin2x-3π4]或[fx=2sin2x+π4]。
2.2錯解2
再求得A=2,[ω=2]之后,圖象可以看作是[fx=2sin2x]向左平移[π8]個單位長度,所以所求解析式為[fx=2sin2x+π8]。
2.3易錯分析
多數(shù)學(xué)生都能正確確定A、T、[ω]的值,但在確定[φ]的值時經(jīng)常出現(xiàn)問題,沒能分清代入的點是“五點”中的哪一個位置點,尤其是“零點”。正如本題中代入的點[3π8,0]是減區(qū)間上的零點,所以應(yīng)該是[3π4+φ=2kπ+π],從而只有[φ=π4]。另外一種利用平移變換時,是對于變量[x]而言的,而不是對于[2x]。
2.4學(xué)習(xí)建議
對于根據(jù)圖象求三角函數(shù)解析式的問題,通常是根據(jù)圖象的頂點來確定A的值,由周期來確定[ω]的值。關(guān)鍵是求[φ]的值,一定要分清代入的點對應(yīng)“五點”中的哪一個位置點,若選擇的是零點,則要注意是增區(qū)間還是減區(qū)間的零點,增區(qū)間的零點則有[ωx+φ=2kπ],減區(qū)間的零點則有[ωx+φ=2kπ+π]。若已知最高點或最低點,則選擇這些非零點代入求解便可以避免多解的情況。
通過以上問題的剖析可以發(fā)現(xiàn),學(xué)生之所以出現(xiàn)這些錯誤的根本原因在于沒有理解函數(shù)[fx=Asin(ωx+φ)]的圖象變換的本質(zhì),沒有掌握三角函數(shù)的基本性質(zhì)。在教學(xué)過程中,教師可以借助幾何畫板來動態(tài)演示三角函數(shù)圖象的變換過程,讓學(xué)生可以形象的感受不同的變換順序所需要的平移量的變化。通過“五點作圖法”體會圖象不同變換的本質(zhì),同時加強概念、性質(zhì)的教學(xué),讓學(xué)生理解不管是周期變換還是相位變換都是對于一個變量[x]而言的,進而使學(xué)生能夠有更清晰的解題思路。
參考文獻
[1]田麟.三角函數(shù)的特性及應(yīng)用[J].湖南城市學(xué)院學(xué)報,2016(1).
[2]普通高中課程標準實驗教科書必修4A版[M].北京:人民教育出版社,2004.
作者簡介
吳小麗(1994.01—),女,漢族,籍貫:四川成都,學(xué)科教學(xué)(數(shù)學(xué)),單位:西華師范大學(xué);郵編:637000。
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