摘要:文章分析了具有混沌動力學特征的非線性三階自治電路,給出了混沌電路中非線性電阻的構造方法, 使用EWB軟件對混沌電路進行了計算機仿真,通過實際硬件電路板測試得到混沌吸引子、倍周期分岔、周期性窗口等預期分析結果,此結果對深入研究混沌理論及混沌的同步和控制有積極借鑒作用。
　　關鍵詞:非線性;混沌;吸引子;倍周期分岔;周期性窗口
　　中圖分類號:TP271.8 文獻標識碼:A
　　
　　1 引言
　　
　　非線性系統(tǒng)的性能是復雜多變的。長期以來,人們對非線性電路中的平衡狀態(tài)和周期振蕩狀態(tài)研究較為充分,取得了許多有用的結果。直到40多年前的一次重要模擬結果出現(xiàn)后,使非線性領域的研究進入了新紀元。1963年,美國麻省理工學院著名的氣象學家洛倫茲(E.N. Lorenz)在研究一個氣象學模型時,發(fā)現(xiàn)了異常的情況。洛倫茲經(jīng)過長時間反復地在計算機上試驗,其結果都是一樣與經(jīng)典認識不同。它的特點是響應一直出現(xiàn)類似隨機的振蕩,狀態(tài)軌跡在一個區(qū)域內(nèi)永不重復地運動著,這一現(xiàn)象后來被稱之為混沌[1] [2]。
　　混沌是非線性動力系統(tǒng)在一定參數(shù)條件下產(chǎn)生的對初始條件具有敏感依賴性的隨機運動�；煦邕\動的根本原因是運動方程的非線性;混沌運動具有內(nèi)在隨機性,對初值非常敏感,若兩次運動的初值有微小差別,長時間后兩次運動會出現(xiàn)較大的、無法預知的偏差�；煦绗F(xiàn)象是自然界的普遍現(xiàn)象,也是非線性系統(tǒng)所特有的復雜狀態(tài)。
　　
　　2 混沌電路?
　　
　　2.1 電路理論分析
　　混沌現(xiàn)象在非線性電路中也普遍存在,電路呈現(xiàn)混沌現(xiàn)象,原則上應考慮兩個條件[3] [4]:
　　(1)二階或二階以上的強制系統(tǒng);三階或三階以上的自治系統(tǒng);
　　(2)至少有一個非線性器件。
　　圖1所示的三階自治電路由四個線性元件(兩個電容、一個電感、一個線性電阻)和一個非線性電阻所組成。
　　
　　2.2 構造非線性電阻電路
　　非線性電阻的部分可以用運算放大器做成負阻抗電路,且當 大于某一電壓值時,運算放大器開始飽和,將兩個這樣的運算放大器并聯(lián),就可以得到伏安曲線為圖2的非線性電阻,完成的電路如圖3所示。
　　
　　3 EWB仿真分析
　　
　　用EWB(Electronics Workbench)軟件對圖3電路進行計算機模擬仿真分析。這里取C1=0.3474uF,C2=0.0155uF,L1=11.0534mH,R1=13.9596Ω,R2=218Ω, R3=374.1Ω, R4=2.19kΩ, R5=3.0811kΩ, R6=18.596kΩ, R7=21.7kΩ,代入非線性電阻的分段線性特性方程中。通過改變不同的W1的值,可得不同的狀態(tài)軌跡, W1=1.14kΩ處的狀態(tài)軌跡如圖4所示,C2、C1兩端的電壓時域波形分別如圖5、圖6所示。
　　結果顯示,電路中電容電壓和電感電流出現(xiàn)類似噪聲的無規(guī)則振蕩,它是一種有界的穩(wěn)態(tài)過程,其狀態(tài)平面上的軌跡按某種內(nèi)在規(guī)律永不重復地穿來穿去,這種類似“蝴蝶”形狀的圖形稱為混沌吸引子�；煦缥�引子又稱奇怪吸引子,它是混沌運動中特有的,具有復雜的拉伸、折疊和伸縮的結構,使得按指數(shù)規(guī)律發(fā)散的系統(tǒng)保持在有限的空間內(nèi),即一切位于吸引子之外的運動都向吸引子靠攏,對應著穩(wěn)定的方向;而一切到達吸引子內(nèi)部的運動都相互排斥,對應著不穩(wěn)定的方向。
　　在計算機模擬分析時,如果改變一下初始狀態(tài),其響應將發(fā)生重大變化,這是因為混沌運動對初始狀態(tài)非常敏感。
　　
　　4 硬件電路調(diào)試
　　
　　按圖3電路制成印刷電路板,考慮到元器件參數(shù)的標稱值,實際電路中取C1=0.33uF,C2=0.015uF,L1=10mH,R1=5.1Ω,R2=220Ω, R3=390Ω, R4=2.2kΩ, R5=3kΩ, R6=18kΩ, R7=22kΩ,固定電壓正負5V。將輸出端信號S2-OUT、S1-OUT分別接到示波器的CH1、CH2探頭,工作方式選擇X-Y方式。將W1調(diào)到最小,示波器屏上可觀察到一條直線,調(diào)節(jié)W1,直線變成橢圓,到某一位置,增大示波器的倍率,反向微調(diào)W1,可見曲線開始作倍周期變化,曲線由一周期增至二周期,由二周期增至四周期,……,直至一系列難以計數(shù)的無首尾的環(huán)狀曲線,這是一個單渦旋吸引子集。繼續(xù)微調(diào)W1,單吸引子突然變成了雙吸引子,只見環(huán)狀曲線在兩個向外渦旋的吸引子之間不斷填充與跳躍,這就是混沌吸引子,它的特點是整體上的穩(wěn)定性和局部上的不穩(wěn)定性同時存在。微調(diào)W1使其在1.1kΩ左右時,電路進入混沌狀態(tài),用示波器觀察到的實際特性與計算機分析的結果非常接近。
　　利用這個電路,還可以觀察到周期性窗口。仔細調(diào)節(jié)W1,原先的混沌吸引子突然出現(xiàn)了一個三周期圖像,繼續(xù)微調(diào)W1,又出現(xiàn)了混沌吸引子,這一現(xiàn)象稱為出現(xiàn)了周期性窗口。
　　以上結果表明,在非線性電路中出現(xiàn)這種特性的混沌振蕩具有深刻的理論價值,它改變了人們許多傳統(tǒng)認識。經(jīng)典理論主要是以線性、對稱、可逆、有序、穩(wěn)定為基礎,產(chǎn)生了非常規(guī)律性的結果。而現(xiàn)代理論卻以非線性、非對稱、不可逆、無序、不穩(wěn)定為特征,演化出了非常奇特的運動機理,混沌就是這類典型代表。
　　
　　5 結束語
　　
　　混沌現(xiàn)象不僅存在于電路中,在地震、氣象、機械、化學、控制、生理等領域中都會出現(xiàn),混沌現(xiàn)象的研究和應用已經(jīng)形成了一門新的科學,研究涉及的領域包括數(shù)學、物理學、生物學、化學、天文學、經(jīng)濟學及工程技術的眾多學科,并且對這些學科的發(fā)展產(chǎn)生了深遠的影響�；煦绨�含的物理內(nèi)容非常廣泛,研究這些內(nèi)容更需要深入的數(shù)學理論,如微分動力學理論、拓撲學、分形幾何學等等。目前混沌的研究重點已轉(zhuǎn)向多維動力學系統(tǒng)中的混沌、量子及時空混沌、混沌的同步及控制等方面。?
　　
　　參考文獻?
　　[1]E.N.洛倫茲. 混沌的本質(zhì)[M]. 北京: 氣象出版社, 1997.?
　　[2]詹姆斯•格萊克. 混沌開創(chuàng)新科學[M]. 上海: 上海譯文出版社, 1990.?
　　[3]高金峰. 非線性電路與混沌[M]. 北京: 科學出版社, 2005.?
　　[4]王興元. 復雜非線性系統(tǒng)中的混沌[M]. 北京: 電子工業(yè)出版社, 2003.?

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