懸浮體，膠體，氣溶膠，云

　　《創(chuàng)新話舊》第2章（2）

　　2．2 一些ABC的問(wèn)題

　　2．2．1 懸浮體，膠體，氣溶膠和云

　　在講述創(chuàng)新點(diǎn)（1）之前，按照我們?cè)凇熬壠稹敝械募s定，先講一點(diǎn)有關(guān)的基本概念。這里先講和懸浮體有關(guān)的概念。微小的粒子懸浮在流體之中，這體系叫懸浮體，或叫膠體。被懸浮的粒子叫懸浮粒子。粒子懸浮在水中的叫水溶膠，懸浮在其他液體中的叫液溶膠。當(dāng)粒子懸浮在空氣中時(shí)，這體系就叫氣溶膠。在環(huán)境保護(hù)工作中，把氣溶膠粒子叫做可吸入顆粒物。在膠體科學(xué)中，常常只講水溶膠和液溶膠，而不講氣溶膠。這不妥當(dāng)。廣義的膠體應(yīng)該也包括氣溶膠。當(dāng)然現(xiàn)在氣溶膠科學(xué)發(fā)展很快，它已成為一門獨(dú)立的學(xué)科了。即使如此當(dāng)我們說(shuō)到膠體時(shí)，應(yīng)該同時(shí)是指兩者。云霧則是一種特殊的氣溶膠。它與一般的氣溶膠有些不同。首先云的粒子大。拿夏天的對(duì)流云講，它的云滴平均大小是10微米。比典型的氣溶膠粒子大了一個(gè)數(shù)量級(jí)。于是有云時(shí)就必然有上升氣流，這才能把云滴托住。而一般氣溶膠粒子太小了，無(wú)須乎上升氣流就可懸浮在空氣中。第三云體中有相變，水汽可以凝結(jié)成云滴，云滴又可以凍結(jié)成冰晶。水氣還可以直接凝結(jié)在冰晶上，叫凝華。相變的形成同樣需要有上升氣流。而這也是一般氣溶膠所沒(méi)有的。盡管如此，云滴的動(dòng)力學(xué)規(guī)律和氣溶膠粒子的動(dòng)力學(xué)規(guī)律基本相同。這就可以理解為什么巴切勒會(huì)認(rèn)為他可以通過(guò)我的云物理研究，把他的懸浮體動(dòng)力學(xué)推廣到氣溶膠力學(xué)中去。

　　 懸浮體或膠體廣泛地存在于自然界和各種工程領(lǐng)域。整個(gè)大氣就是一個(gè)氣溶膠系統(tǒng)，江河湖泊和海洋就是水溶膠系統(tǒng)。人體內(nèi)的呼吸系統(tǒng)則是氣溶膠系統(tǒng)，血液循環(huán)系統(tǒng)則是水溶膠系統(tǒng)�；瘜W(xué)工程管道中的則是水溶膠，液溶膠或氣溶膠。煤礦工程中的水煤漿系統(tǒng)，水利工程中的水庫(kù)中的都是水溶膠。粉塵車間中的，和煙筒中冒出來(lái)的濃煙，是高濃度的氣溶膠。在高科技工業(yè)中制造大規(guī)模和超大規(guī)模集成電路的超凈工作間里，則是超低濃度的氣溶膠。可見(jiàn)懸浮體是個(gè)很重要的研究對(duì)象。愛(ài)因斯坦，斯莫魯霍夫斯基和巴切勒這樣一些大科學(xué)家把懸浮體或膠體選擇為自己的研究對(duì)象，是一種很明智，很有遠(yuǎn)見(jiàn)的選擇。當(dāng)然，人類對(duì)懸浮體的研究還要更早，它起自18，19世紀(jì)，至今已有幾百年的歷史。其中最著名的是19世紀(jì)初期，在1827年，由英國(guó)的植物學(xué)家布朗（Brown）發(fā)現(xiàn)的懸浮粒子的無(wú)規(guī)運(yùn)動(dòng)，后來(lái)就被人們稱做是布朗運(yùn)動(dòng)。這個(gè)運(yùn)動(dòng)引起了物理學(xué)家的極大興趣，因?yàn)樗�證實(shí)了物質(zhì)的分子結(jié)構(gòu)。原來(lái)這種無(wú)規(guī)的布朗運(yùn)動(dòng)來(lái)源于粒子周圍的流體中分子的無(wú)規(guī)熱運(yùn)動(dòng)，對(duì)懸浮粒子的無(wú)規(guī)撞擊。因?yàn)閼腋×Ｗ雍苄�，這種無(wú)規(guī)撞擊的效應(yīng)才顯現(xiàn)得出來(lái)。否則當(dāng)物體比較大時(shí)，這種效應(yīng)就被平滑掉了。于是懸浮粒子的無(wú)規(guī)的布朗運(yùn)動(dòng)就成為當(dāng)時(shí)物質(zhì)的分子結(jié)構(gòu)最有力的證明。然而布朗粒子無(wú)規(guī)運(yùn)動(dòng)本身還有其規(guī)律性，這個(gè)規(guī)律性則是到了20世紀(jì)初期，由愛(ài)因斯坦，朗之萬(wàn)和斯莫魯霍夫斯基等物理學(xué)家所發(fā)現(xiàn)的。后來(lái)的進(jìn)一步發(fā)展就形成了懸浮體力學(xué)，膠體動(dòng)力學(xué)，乃至膠體科學(xué)。這更加證明了愛(ài)因斯坦和斯莫魯霍夫斯基等人選擇的遠(yuǎn)見(jiàn)卓識(shí)。當(dāng)然就膠體科學(xué)而言，光有物理學(xué)家的努力還不行，這是一個(gè)多學(xué)科交叉的產(chǎn)物。其中，化學(xué)家和化學(xué)工程學(xué)家的貢獻(xiàn)也非常重要。美國(guó)的膠體科學(xué)家大部分都工作在各大學(xué)的化學(xué)工程系。我因?yàn)樵诿绹?guó)的《膠體和界面科學(xué)雜志（J.Colloid and Interface Sci.）》發(fā)表了一些論文，美國(guó)化學(xué)學(xué)會(huì)就幾次來(lái)函邀請(qǐng)我為該學(xué)會(huì)的會(huì)員。20世紀(jì)里幾個(gè)重大的交叉學(xué)科的產(chǎn)生，都有類似的情況。如我所從事的大氣科學(xué)，原來(lái)叫氣象學(xué)，后來(lái)物理學(xué)滲透進(jìn)來(lái)了，就有了大氣物理。接著化學(xué)又滲透進(jìn)來(lái)，就有了大氣化學(xué)，最后多學(xué)科交叉結(jié)果就是現(xiàn)在的大氣科學(xué)。又如生命科學(xué)。原來(lái)叫生物學(xué)，后來(lái)產(chǎn)生了生物物理，還有生物化學(xué)，最后多學(xué)科交叉結(jié)果就形成了生命科學(xué)。不過(guò)總的來(lái)說(shuō)，在多學(xué)科交叉的過(guò)程中，物理學(xué)起著主導(dǎo)作用。

　　2．2．2 單分散（Monodisperse）

　　和多分散(Polydisperse)體系

　　在懸浮體或膠體的研究中，經(jīng)常把它分成兩大類，即單分散和多分散體系。這是在懸浮粒子球形模型下的兩個(gè)概念。所謂單分散即指該體系中所有的粒子半徑和組成的成分相同。它們的粒徑譜和成分譜都是單譜。而多分散則是指系統(tǒng)中粒子的半徑或組成成分有一個(gè)不同。它們的粒徑譜或成分譜有一個(gè)是多譜。單分散體系在自然界和工程領(lǐng)域極為罕見(jiàn)。富克斯曾在他的名著《氣溶膠力學(xué)》中講到，La Mer 發(fā)生器和某些植物花粉或孢子所形成的氣溶膠，相對(duì)而言是單分散的。例如，三葉草花粉粒子半徑在24.8─26.9微米范圍內(nèi)。當(dāng)然嚴(yán)格講，這仍然不是單分散體系。嚴(yán)格的單分散體系其粒徑譜應(yīng)為真正的單譜，譜寬度應(yīng)為0。那為甚麼人們還要研究它呢。這是因?yàn)閱畏稚Ⅲw系是最簡(jiǎn)單的懸浮體。在這種體系中，粒子的沉降速度相同，他們之間的相對(duì)沉降速度為0，彼此之間的距離不會(huì)改變。雖然他們具有絕對(duì)沉降速度，它們和地面的距離會(huì)越來(lái)越小。在這種條件下，對(duì)理論研究特別有利，有可能找到嚴(yán)格的解析解，實(shí)驗(yàn)室中也可以驗(yàn)證，從而對(duì)該問(wèn)題的物理機(jī)制得到一個(gè)初步的了解。例如，巴切勒的單分散沉降理論。當(dāng)然，單分散沉降理論存在著明顯的局限性，這也就是為什麼在1982年巴切勒和我要把它推廣到多分散體系中去的原因。顯然多分散比單分散問(wèn)題復(fù)雜得多，因?yàn)榇藭r(shí)粒子之間的相對(duì)沉降速度不再是0。這問(wèn)題我們會(huì)在第四章中更詳盡地談到它。

　　2．2．3 懸浮粒子的碰并和膠體的穩(wěn)定性

　　懸浮粒子在各種力的作用下產(chǎn)生了相對(duì)運(yùn)動(dòng)，最后發(fā)生粒子之間的碰撞，在有利的條件下，特別是當(dāng)粒子間的 范德瓦爾斯分子引力勢(shì)比較強(qiáng)的時(shí)候，兩個(gè)粒子就會(huì)粘連在一起，形成一個(gè)聚合體。如果是兩個(gè)水滴，就會(huì)合并成一個(gè)新的大水滴，這種現(xiàn)象叫碰并，或叫聚集，或凝聚，或聚沉，或凝并。都是一個(gè)意思，英文原文是一個(gè)字 Coagulation, 現(xiàn)在還沒(méi)有統(tǒng)一的翻譯方法， 不同的學(xué)科和不同的人有不同的譯法。云物理中譯為碰并，因?yàn)樵频魏驮频沃�間的Coagulation，會(huì)使兩個(gè)云滴合并成為一個(gè)新的體積為原來(lái)兩個(gè)云滴體積之和的大云滴。我出身于云物理，按照我的老習(xí)慣，還是譯為碰并。當(dāng)然，在云物理中有時(shí)也使用Coalesence,那就不會(huì)發(fā)生混淆�？墒窃谠莆锢碇校�確實(shí)也常用Coagulation 這個(gè)字，講的是一回事。

　　碰并過(guò)程發(fā)展的結(jié)果，在懸浮體或膠體中粒子的數(shù)密度會(huì)越來(lái)越少，而比原來(lái)粒子大的聚合體的數(shù)目也就會(huì)從無(wú)到有且越來(lái)越多，粒子的平均半徑越來(lái)越大，粒子的平均沉降速度也必然會(huì)越來(lái)越快，越來(lái)越多的大粒子就從膠體中分離出來(lái)，沉淀到膠體的底部，而把純凈的流體留在了上部，膠體就不穩(wěn)定了，這種膠體就叫做不穩(wěn)定膠體。相反的情況，當(dāng)粒子間的范德瓦爾斯分子引力勢(shì)被屏蔽掉，而有很強(qiáng)的庫(kù)侖靜電斥力勢(shì)的時(shí)候，粒子相碰后就不會(huì)發(fā)生并合或粘連，而會(huì)使粒子反彈回去，不會(huì)產(chǎn)生聚合體。這種膠體就可以長(zhǎng)時(shí)間維持下去，叫穩(wěn)定的膠體。更為嚴(yán)重的是，當(dāng)粒子有碰并現(xiàn)象發(fā)生時(shí)，膠體會(huì)由原來(lái)的分散狀態(tài)，轉(zhuǎn)化為聚集狀態(tài)，此時(shí)幾乎所有的膠體性質(zhì)，都要發(fā)生變化，所以膠體的穩(wěn)定性問(wèn)題，就成為膠體科學(xué)的核心問(wèn)題。又由以上的論述中可以看出，決定膠體穩(wěn)定度大小的正是懸浮粒子的碰并率。膠體科學(xué)中所定義的膠體穩(wěn)定度，正是和懸浮粒子的碰并率成反比。碰并率為0時(shí)，穩(wěn)定度為無(wú)窮大，膠體絕對(duì)穩(wěn)定。碰并率為無(wú)窮大時(shí)，穩(wěn)定度為0，膠體絕對(duì)不穩(wěn)定。很明顯對(duì)懸浮粒子碰并率的研究，就必然成為膠體科學(xué)中的核心問(wèn)題 。斯莫魯霍夫斯基選擇碰并問(wèn)題作為他的研究膠體的切入點(diǎn)，確是非常英明的選擇，這使他不但成為膠體動(dòng)力學(xué)的奠基人之一，而且也成為現(xiàn)代膠體科學(xué)的奠基人之一。從而再一次證明選題在科學(xué)研究事業(yè)中的極端重要性。

　　2．2．4 對(duì)分布方程和皮克列特?cái)?shù)

　　2．2．4．1 雙球模型

　　本書(shū)第一章中談到巴切勒在研究懸浮粒子的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題時(shí)，把他的研究對(duì)象規(guī)定為稀釋的懸浮體。也就是說(shuō)這種懸浮體的體積濃度必須遠(yuǎn)小于1。此時(shí)懸浮體中多粒子之間的各種相互作用，就可簡(jiǎn)化為兩個(gè)粒子之間的相互作用。對(duì)于球形粒子而言，就可以用雙球模型來(lái)近似這種多粒子的懸浮體。問(wèn)題就簡(jiǎn)單多了，是目前人類還有辦法處理的事。體積濃度和數(shù)密度是兩個(gè)不同的概念。后者講的是單位空間體積中有多少個(gè)粒子，它是一個(gè)有量綱量，數(shù)值可以遠(yuǎn)大于1。而體積濃度講的是單位空間體積中粒子本身的總體積是多少，顯然這是一個(gè)無(wú)量綱量，數(shù)值不可能大于1。理論上只有粒子完全充滿空間時(shí)，粒子的體積濃度其數(shù)值才會(huì)等于1。而這實(shí)際上不可能。對(duì)于球形粒子而言，當(dāng)體積濃度達(dá)到0 .5以上時(shí)，其動(dòng)力學(xué)上的效應(yīng)，就已和粒子充滿空間相近了。實(shí)驗(yàn)表明當(dāng)粒子的體積濃度小于0.02時(shí)，這種懸浮體就可以用雙球模型的稀釋?xiě)腋◇w來(lái)近似。這要求并不算高，大氣氣溶膠就滿足此條件。雖然大氣氣溶膠的數(shù)密度非常大，每立方厘米中可以有幾千到幾萬(wàn)，甚至更大。但是由于粒子的典型大小只有1微米，還有大量更小的粒子，所以大氣氣溶膠的體積濃度不僅遠(yuǎn)小于1，而且遠(yuǎn)小于0. 02，都可以用雙球模型的稀釋?xiě)腋◇w來(lái)近似。還要補(bǔ)充一點(diǎn)，雙球模型的稀釋?xiě)腋◇w并不是巴切勒的發(fā)明，早在20世紀(jì)初，從斯莫魯霍夫斯基開(kāi)始，就使用了這種雙球模型的稀釋?xiě)腋◇w。因?yàn)橹钡浆F(xiàn)在，三體以上的多體相互作用問(wèn)題，還是人們處理不了的事，這一點(diǎn)本書(shū)第四章還要進(jìn)一步談到它。盡管如此，就稀釋體系的雙球模型而言，卻仍然是十分復(fù)雜的問(wèn)題，在20世紀(jì)里，雙球的各種相互作用，使人們花費(fèi)了不少腦筋。例如雙球的范德瓦爾斯分子引力勢(shì)，雙球荷電以后他們之間的庫(kù)侖靜電斥力或引力勢(shì)，雙球之間的流體動(dòng)力相互作用等等。自從斯莫魯霍夫斯基以后，一代一代的科學(xué)家們對(duì)這些問(wèn)題絞盡了腦汁，正好在我到達(dá)劍橋時(shí)，才有了一些比較好的答案。我們才能在這些人工作的基礎(chǔ)上，繼續(xù)前進(jìn)。在求解雙球各種相互作用下的對(duì)分布方程中，取得了一批較好的結(jié)果，使懸浮粒子碰并問(wèn)題以及沉降問(wèn)題都得到了一些突破性進(jìn)展。應(yīng)該承認(rèn)我到達(dá)劍橋師從巴切勒的時(shí)機(jī)，真是非常巧非常難得的機(jī)遇。機(jī)會(huì)難得，我真是太幸運(yùn)了。

　　2．2．4．2 對(duì)分布函數(shù)

　　懸浮體力學(xué)認(rèn)為粒子的隨機(jī)的布朗運(yùn)動(dòng)，是懸浮粒子運(yùn)動(dòng)最基本的特征。因此原則上對(duì)粒子運(yùn)動(dòng)位置的描寫(xiě)，應(yīng)該用概率論的方法，而不應(yīng)用確定論型的軌跡分析方法。一般情況下，人們無(wú)法確知在某一時(shí)刻，某一布朗粒子運(yùn)動(dòng)到了何處，而只能談它到達(dá)某一位置的概率是多少。所謂對(duì)分布函數(shù)就是在粒子的雙球模型中，描述某一代表性的球在某一時(shí)刻，發(fā)現(xiàn)它的中心處在，相對(duì)于參考球中心的向量距離為r 的位置上，其概率密度是多少。這里所謂概率密度又是指單位空間體積中，發(fā)現(xiàn)該代表性球的概率。我們對(duì)這兩個(gè)球加上標(biāo)號(hào)。代表性球叫j球，參考球叫i球。一個(gè)是j球，另一個(gè)是i球，這兩個(gè)球形粒子構(gòu)成了一個(gè)球形粒子對(duì)，所以上述概率密度函數(shù)就叫做對(duì)分布函數(shù)。它是時(shí)刻t和向量距離r的函數(shù)。本質(zhì)上它就是j球的概率密度。不過(guò)是以i球中心為參考坐標(biāo)系的原點(diǎn)罷了。它的運(yùn)動(dòng)速度都是指它相對(duì)于i球中心的運(yùn)動(dòng)速度。不是相對(duì)于地面的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)速度。當(dāng)已知對(duì)分布函數(shù)時(shí)，把它和j球的數(shù)密度相乘，就得到了j球的數(shù)密度分布函數(shù)，再乘以粒子的相對(duì)速度，就會(huì)得到j(luò)球相對(duì)于i球中心的輸送量。把這個(gè)量在兩個(gè)球相碰的碰撞面上積分，就可得到j(luò)球和i球的碰并率。所以關(guān)鍵問(wèn)題是要得到對(duì)分布函數(shù)的解。這就要求我們?nèi)デ蠼鈱?duì)分布方程。

　　2．2．4．3 進(jìn)入正題

　　支配對(duì)分布函數(shù)變化的方程叫對(duì)分布方程。這方程是一種守恒型的方程。該方程是說(shuō)，當(dāng)空間中沒(méi)有j球的源地，也沒(méi)有吸收掉j球的匯時(shí)，j球的對(duì)分布函數(shù)的局地變化就決定于，總的j球的對(duì)分布函數(shù)輸送通量的負(fù)散度�？偟膉球的對(duì)分布函數(shù)輸送通量是重力對(duì)流輸送通量，粒子間勢(shì)力輸送通量和布朗擴(kuò)散輸送通量，三個(gè)通量的和。散度是對(duì)這總通量的一種向量運(yùn)算。所得結(jié)果的物理意義是指，在運(yùn)算地點(diǎn)上單位時(shí)間和單位空間體積中，j球輸送出去的量值。輸送出去的量對(duì)當(dāng)?shù)氐膉球而言是減少了，所以在散度前面要加一個(gè)負(fù)號(hào)。

　　對(duì)分布方程是一個(gè)二階的，線性的，時(shí)空四維的偏微分方程。方程雖是線性的，好像比非線性的方程容易求解，其實(shí)不然。由于它的三個(gè)輸送項(xiàng)的系數(shù)，在雙球間的流體動(dòng)力相互作用下，(點(diǎn)擊此處閱讀下一頁(yè))

　　都不是常數(shù)，而和j球距i球的距離和方位有關(guān)。所以它們是三個(gè)非均勻場(chǎng)，當(dāng)然是三個(gè)已知的非均勻場(chǎng)。這就是問(wèn)題的困難所在。大家知道，求解以非均勻場(chǎng)為系數(shù)的線性二階偏微分方程，它的難度其實(shí)和求解非線性的二階偏微分方程相同。例如到現(xiàn)在人們還無(wú)法求出其嚴(yán)格解的黏性流體力學(xué)的納維－斯托克斯方程。盡管如此，20世紀(jì)中的流體力學(xué)家已經(jīng)做了大量工作，發(fā)明出一整套的微擾方法，包括奇異擾動(dòng)法和規(guī)則擾動(dòng)法，從而求出了許多納維－斯托克斯方程的近似解，解決了許多工程上的難題。借用這些方法，我們也已求出一些對(duì)分布方程的近似解，從而把懸浮粒子的碰并和沉降理論推向前進(jìn)。本章要講的創(chuàng)新點(diǎn)（1）就是其之一。

　　在用微擾方法求解對(duì)分布方程中，最常用的微擾參數(shù)就是我們?cè)谇懊嬉呀?jīng)講過(guò)多次的皮克列特?cái)?shù)。實(shí)際上，它是從對(duì)分布方程無(wú)量綱化后得到的。所以它的確切的定義是，j球相對(duì)于i球的重力對(duì)流輸送項(xiàng)和布朗擴(kuò)散輸送項(xiàng)的比。對(duì)分布方程無(wú)量綱化后還得到另一個(gè)無(wú)量綱參數(shù)，就是Qij數(shù)。它的定義是，j球相對(duì)于i球的重力對(duì)流輸送項(xiàng)和粒子間的勢(shì)力輸送項(xiàng)的比。這兩個(gè)無(wú)量綱數(shù)彼此不相互獨(dú)立，而是成正比，比例系數(shù)已知。所以，歸根結(jié)底，對(duì)分布方程的解主要決定于皮克列特?cái)?shù)。當(dāng)它小于1時(shí)，我們就把它本身當(dāng)作微擾參數(shù)。當(dāng)它大于1時(shí)，我們就把它的倒數(shù)當(dāng)作微擾參數(shù)。這和求解納維－斯托克斯方程時(shí)，把雷諾數(shù)當(dāng)作是微擾參數(shù)相似。這里我們?cè)侔哑た肆刑財(cái)?shù)和前面講的單分散和多分散體的關(guān)系講一下。因?yàn)槠た肆刑財(cái)?shù)和兩粒子間的相對(duì)重力沉降速度成正比，所以單分散體系的皮克列特?cái)?shù)是0，而多分散體系的皮克列特?cái)?shù)就不為0。由于皮克列特?cái)?shù)和粒子半徑的4次方成正比，所以當(dāng)粒子的半徑從亞微米過(guò)度到微米量級(jí)時(shí)，它們的皮克列特?cái)?shù)可以從遠(yuǎn)小于1的量值過(guò)度到遠(yuǎn)大于1的量值，從而使對(duì)分布函數(shù)的解發(fā)生質(zhì)的變化。

　　2．2．5 斯莫魯霍夫斯基的軌跡分析法

　　2．2．5．1 軌跡法的成功之處

　　創(chuàng)新點(diǎn)（1）是對(duì)斯莫魯霍夫斯基軌跡分析法的突破。在講這次突破之前，還有必要對(duì)這個(gè)方法加以分析。我們?cè)诘谝徽轮幸呀?jīng)談到斯莫魯霍夫斯基憑借他的兩個(gè)大膽的假定，開(kāi)辟出現(xiàn)代懸浮粒子碰并問(wèn)題的研究道路。其中第一個(gè)假定是人們可以用懸浮粒子兩種極限碰并的研究取代耦合碰并研究，這包括可完全忽略在高皮克列特?cái)?shù)下弱一些的布朗運(yùn)動(dòng)。這樣他就成功地避開(kāi)了一個(gè)難題，即：在高皮克列特?cái)?shù)條件下，懸浮粒子強(qiáng)對(duì)流和弱布朗兩種性質(zhì)不同的運(yùn)動(dòng)耦合碰并難題。而把該過(guò)程轉(zhuǎn)化為純確定論型的對(duì)流碰并問(wèn)題。對(duì)此，人們就可以用軌跡分析法處理，其中j球相對(duì)于i球的相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡完全可以計(jì)算出來(lái)，進(jìn)一步找到兩個(gè)球形粒子的相切軌跡后，就可得到對(duì)流碰并率。非隨機(jī)的對(duì)流運(yùn)動(dòng)又分兩大類，一類是由重力造成的，叫重力碰并率。一類是由背景流場(chǎng)造成的，叫背景流場(chǎng)碰并率。背景流場(chǎng)又有不同形式，比如剪切流場(chǎng)，就成剪切碰并率；
又比如軸對(duì)稱純變形流場(chǎng)，就成軸對(duì)稱純變形場(chǎng)碰并率等等。當(dāng)然，僅僅憑這個(gè)假定，斯莫魯霍夫斯基在20世紀(jì)初還不能得到上述各種對(duì)流碰并的具體答案。為此，他還必須補(bǔ)充以第二個(gè)大膽假定，即忽略掉粒子間的各種相互作用，這樣他才能成功地在20世紀(jì)初得到了上述各種對(duì)流碰并一級(jí)近似解。

　　軌跡分析法不僅使斯莫魯霍夫斯基在20世紀(jì)初得到上述的成功。而且，以后人們?cè)谘芯扛鞣N粒子間的相互作用對(duì)于對(duì)流碰并的影響時(shí)，繼續(xù)得到成功的應(yīng)用。這包括粒子間的流體動(dòng)力相互作用；
粒子間范德瓦爾斯 分子引力勢(shì)相互作用；
還有粒子荷電以后，帶電粒子之間的各種庫(kù)侖靜電勢(shì)相互作用。就水溶膠而言，帶電粒子均荷同號(hào)電，庫(kù)侖靜電勢(shì)是斥力勢(shì)。就氣溶膠而言，則同號(hào)電和異號(hào)電荷均有，故此在氣溶膠中既有庫(kù)侖靜電斥力勢(shì)，也有庫(kù)侖靜電引力勢(shì)。這些相互作用也都是確定論型的。因此，在研究它們對(duì)于對(duì)流碰并的影響時(shí)，也都可以繼續(xù)使用斯莫魯霍夫斯基的軌跡分析法。直到現(xiàn)在，人們對(duì)于在各種粒子間的相互作用下的對(duì)流碰并過(guò)程已有了一個(gè)相當(dāng)全面相當(dāng)深入的理解。對(duì)于斯莫魯霍夫斯基對(duì)流碰并率的一級(jí)近似解，得到各種各樣的修正系數(shù)。這是軌跡分析法的又一次成功。

　　2．2．5．2 軌跡分析法的局限性

　　正像本書(shū)第一章“西風(fēng)凋碧樹(shù)”一節(jié)里講的那樣，一切理論都有它的局限性。斯莫魯霍夫斯基的軌跡分析法這顆大樹(shù)也不例外，也有它的局限性。軌跡分析法的第一個(gè)也是最主要的局限性，就是人們無(wú)法在此方法的基礎(chǔ)上去研究弱布朗運(yùn)動(dòng)對(duì)于對(duì)流碰并的影響，從而得到對(duì)流碰并的二級(jí)近似解。因?yàn)橹灰�有一點(diǎn)點(diǎn)布朗運(yùn)動(dòng)存在，粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡就無(wú)法計(jì)算出來(lái)。有弱布朗運(yùn)動(dòng)影響的對(duì)流碰并二級(jí)近似解就無(wú)法找到。

　　軌跡分析法的第二個(gè)局限性在于，粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡一般都要用數(shù)值計(jì)算方法求出。不僅如此，當(dāng)人們使用軌跡分析法來(lái)計(jì)算碰并率，在找出兩粒子之間的相切軌跡時(shí)，還必須進(jìn)行數(shù)值試驗(yàn)。只有通過(guò)數(shù)值試驗(yàn)，才能找出相應(yīng)的相切軌跡。于是用這種方法得到的碰并率一般只能是數(shù)值解。不可能得到解析解。大家知道人們很難通過(guò)數(shù)值解，了解到過(guò)程的真實(shí)物理，為要發(fā)現(xiàn)過(guò)程的真實(shí)物理，只有得到解析解才行。而這是軌跡分析法所難以做到的。

　　2．2．5．3 我們的想法

　　為克服軌跡分析法上述的局限性，出路在于要放棄軌跡分析法，轉(zhuǎn)而使用概率論方法。具體到我們的問(wèn)題而言，就是要使用統(tǒng)計(jì)理論方法。對(duì)于稀釋?xiě)腋◇w而言就是要使用粒子對(duì)的統(tǒng)計(jì)對(duì)分布方程法。因?yàn)樵诮y(tǒng)計(jì)對(duì)分布方程中，與描述隨機(jī)的布朗運(yùn)動(dòng)的布朗擴(kuò)散項(xiàng)同時(shí)，還包含了描述非隨機(jī)的對(duì)流運(yùn)動(dòng)貢獻(xiàn)的對(duì)流輸送項(xiàng)。因此，統(tǒng)計(jì)理論原則上可以解決兩類不同性質(zhì)同時(shí)存在時(shí)的耦合碰并問(wèn)題，并有可能得到解析解。但統(tǒng)計(jì)理論還存在一個(gè)重要問(wèn)題，那就是它能否解決完全忽略掉布朗運(yùn)動(dòng)的純對(duì)流碰并問(wèn)題。因?yàn)樵谕耆�忽略了布朗運(yùn)動(dòng)以后，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為純確定論型。而統(tǒng)計(jì)理論卻屬于概率論型范疇。對(duì)于這問(wèn)題，我們的答案是肯定的。因?yàn)閷?shí)際上，我們認(rèn)為確定論型的問(wèn)題與概率論型并不完全矛盾、相互排斥。前者只不過(guò)是后者的一個(gè)特例。當(dāng)概率趨于1時(shí)，隨機(jī)事件就應(yīng)轉(zhuǎn)化為必然事件。對(duì)于統(tǒng)計(jì)理論對(duì)分布方程而言，當(dāng)皮克列特?cái)?shù)趨于無(wú)窮大時(shí)，它的解就應(yīng)該轉(zhuǎn)化為確定論型的解，從而必定會(huì)和軌跡分析法一致。因此，完全可以突破斯莫魯霍夫斯基的軌跡分析法限制，在對(duì)流碰并的范圍里建立統(tǒng)計(jì)理論。

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