函數(shù)單調(diào)性的教學(xué)方法探究與反思
發(fā)布時(shí)間:2018-06-22 來源: 短文摘抄 點(diǎn)擊:
摘 要:函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì),其判定方法在也是數(shù)學(xué)中相當(dāng)重要的一個(gè)知識(shí)點(diǎn),可通過數(shù)形結(jié)合來實(shí)現(xiàn),但對(duì)于高職院校的學(xué)生來說,如何讓其有效掌握高等數(shù)學(xué)中的單調(diào)性判別法,為函數(shù)單調(diào)性選擇更為簡單的判定方法是本文探究的重點(diǎn)。
關(guān)鍵詞:單調(diào)性 判別法 教學(xué)方法 反思
一、引言
函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì),在初等數(shù)學(xué)中,我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過通過作差法判別函數(shù)的單調(diào)性,但對(duì)于某些復(fù)雜函數(shù)或特殊函數(shù),作差法并不能實(shí)現(xiàn)單調(diào)性的判別,因此在高等數(shù)學(xué)中,我們引入了利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性,但是如何能讓學(xué)生更容易掌握導(dǎo)數(shù)方法判別呢?這是值得探究和反思的。
二、單調(diào)性判別法的教學(xué)方法探究
。ㄒ唬┳鞑罘ǖ膬(yōu)勢和弊端
設(shè)函數(shù)的定義域?yàn),,任取,且,恒有,則稱函數(shù)在內(nèi)單調(diào)增加;如果任取,且,恒有,則稱函數(shù)在內(nèi)單調(diào)減少。單調(diào)增加函數(shù)和單調(diào)減少函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)。
在初等數(shù)學(xué)階段,我們對(duì)函數(shù)的單調(diào)性的判別方法為定義判別法,即“作差法”,簡單函數(shù)或一般函數(shù)可容易由其判斷出來。(由圖1所示)
圖1
但是,在實(shí)際教學(xué)和應(yīng)用中,我們“作差法”存在一些優(yōu)勢,但同時(shí)也存在一些弊端。
作差法優(yōu)勢:容易掌握;弊端:復(fù)雜函數(shù)或特殊函數(shù)無法判斷出單調(diào)性。
例1判斷函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性。
解 因?yàn)榈亩x域?yàn)椋瑒t
任取且,作差得
根據(jù)假設(shè),容易得出,因此判定在其定義域上單調(diào)增加。
例2 函數(shù)是否容易利用“作差法”判斷其單調(diào)性?
解 因?yàn)榈亩x域?yàn),則
任取且,作差得
但在上式中的正負(fù)無法確定,因此“作差法”無法判定其單調(diào)性。高等數(shù)學(xué)中,導(dǎo)數(shù)判別法判別函數(shù)的單調(diào)性有效的解決了這一問題。
。ǘ├脤(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性優(yōu)勢、弊端及授課反思
1.導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性優(yōu)勢、弊端
定理 設(shè)函數(shù)在上連續(xù).在內(nèi)可導(dǎo).
。1)如果在內(nèi),則函數(shù)在上單調(diào)增加;
。2)如果在內(nèi),則函數(shù)在上單調(diào)減少。
導(dǎo)數(shù)判別法判定函數(shù)單調(diào)性的優(yōu)勢在于它可以判斷復(fù)雜函數(shù)甚至一些相對(duì)抽象的函數(shù)容易判定其單調(diào)性。但是其弊端在于對(duì)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相對(duì)薄弱的職業(yè)院校學(xué)生來說不易掌握。
2.導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性的授課反思
那么作為職業(yè)院校的教師應(yīng)該如何講授讓學(xué)生更容易理解呢?我認(rèn)為,在實(shí)際教學(xué)中,可從兩方面講授,以便學(xué)生視自己學(xué)習(xí)情況看哪種方法更易理解。
。1)利用拉格朗日中值定理理解判定定理
設(shè)是內(nèi)任意兩點(diǎn),且,在上運(yùn)用拉格朗日中值定理得:
如果,則。因?yàn)椋杂校?br> 因此在上單調(diào)增加。
同理可證,在上單調(diào)減少。
。2)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義理解判定定理
我們知道,導(dǎo)數(shù)的幾何意義是該函數(shù)曲線在這一點(diǎn)上的切線斜率。即
對(duì)于增加性不同的函數(shù),它們每一點(diǎn)處切線斜率,或者說導(dǎo)數(shù)有什么特點(diǎn)嗎?我們通過下圖來觀察一下。
圖2
在圖2-(1)中,是單調(diào)增加的,切線與夾角均為銳角,而銳角的正切值都是正值,由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知,此時(shí),因此判定是單調(diào)增加的條件為內(nèi);在圖2-(2)中,是單調(diào)減少的,切線與夾角均為鈍角,而鈍角的正切值都是負(fù)值,此時(shí),因此判定是單調(diào)增加的條件為內(nèi)。注:判斷時(shí),和不影響判定結(jié)果。
例2中,“作差法”未能判定的單調(diào)性,下面我們利用導(dǎo)數(shù)試判定其單調(diào)性。
例3 利用導(dǎo)數(shù)判別法判定的單調(diào)性。
解 因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?而在上,
所以在其定義域上單調(diào)增加。
例4 確定的單調(diào)區(qū)間
解 的定義域?yàn)?求的導(dǎo)數(shù)的
.
解方程,得、
這兩個(gè)根把分成三個(gè)部分區(qū)間、及.
所以:在上單調(diào)增加. 在上單調(diào)遞減。
結(jié)語
本文對(duì)函數(shù)單調(diào)性初等數(shù)學(xué)階段的“作差”判別法和高等數(shù)學(xué)階段的導(dǎo)數(shù)判別法的優(yōu)點(diǎn)和弊端進(jìn)行了論證,在教學(xué)方法進(jìn)行了探究和反思,主要目的是為了在教學(xué)過程中使學(xué)生更好的掌握所學(xué)內(nèi)容,做到學(xué)以致用的。
參考文獻(xiàn)
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